Инструкция . Выберите количество предприятий.
Пример №1 . Планируется работа двух предприятий на n лет. Начальные ресурсы равны s0. Средства x, вложенные в 1-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f1(x), и возвращаются в размере g1(x). Средства y, вложенные в 2-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f2(y) и возвращаются в размере g2(y). В конце года возвращенные средства заново перераспределяются между отраслями. Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.
Задачу решим методом динамического программирования. Операцию управления производственным процессом разобьём на этапы. На каждом из них управление выберем так, чтобы оно приводило к выигрышу как на данном этапе, так и на всех последующих до конца операции. В этом состоит принцип оптимальности
, сформулированный американским математиком А. Беллманом.
Разобьём весь период на три этапа по годам и будем нумеровать их, начиная с первого.
Обозначим через x k
и y k
количество средств выделяемых каждому предприятию на k-ом этапе, а через x k
+ y k
= a k
- общее количество средств на этом этапе. Тогда первое предприятие приносит на этом этапе 3 x k
, а второе 4 y k
единиц дохода. Общий доход на k-ом этапе 3x k
+ 4y k
.
Обозначим через f
k (a
k) - максимальный доход, который получает отрасль от обоих предприятий на k-ом и всех последующих. Тогда функциональное уравнение, отражающее принцип оптимальности Беллмана, принимает вид:
f k (a k)=
max{3
x k + 4
y k +
f k +1 (a k +1)}.
(1)
Так как x k + y k = a k , то
y k = a k - x k и
3x k + 4y k = 3x k + 4(a k - x k) = - x k + 4a k . Поэтому
f k (a k) = max{-x k + 4a k + f k+1 (ak+1)}
. (2)
0 ≤ x k ≤ a k
Кроме того, ak - это средства выделяемые обои предприятиям на k-ом этапе, и они определяются остатком средств, получаемых на предыдущем (k-1)-ом этапе. Поэтому по условию задачи оптимальное управление на каждом этапе
a k = 0,5
x k -1 + 0,2
y k -1 = 0,5
x k -1 +0,2(a k -1 -
x k -1) = 0,3
x k -1 +0,2
a k -1 .
(3)
I.Условия оптимизации
Планирование начинаем с последнего третьего этапа
При k
=
3
получаем из (2)
f 3 (a 3) = max {- x 3 + 4a 3 + f 4 (a 4)}
0 ≤ x 3 ≤ a 3
Так как четвёртого этапа нет, то f 4 (a 4)=0
и
f 3 (a 3) = max {- x 3 + 4a 3 }=4a 3
0 ≤ x 3 ≤ a 3
(максимум выражения (-
x 3 + 4
a 3
) будет при x 3 =0)).
Итак, для третьего последнего этапа имеем: f 3 (a 3) = 4
a 3 ,
x 3 = 0,
y 3 =
a 3 -
x 3 =
a 3 ,
где a
3 = 0,3x 2
+ 0,2a 2 ,
что следует из формулы (3).
При k = 2
из (2) и (3) получаем:
f(a 2) = max {-x 2 + 4a 2 + f 3 (a 3)}=
0 ≤ x ≤ a 2
= max {-x 2 + 4a 2 + 4a 3 }= max {-x 2 + 4a 2 + 4(0,3x 2
+ 0,2a 2)} max{0,2x 2 + 4,8a 2 } 5a
0 ≤ x ≤ a
2
т. к. максимум выражения (0,2
x 2 + 4,8
a 2
) будет при x 2 =
a 2
.
То для второго этапа имеем: f 2 (a 2) = 5a 2 , x 2 = a 2 , y 2 = a 2 x 2 = 0 , при этом
a 2 = 0,3x 1 + 0,2a 1 с учетом (3).
При k = 1
с учетом (2) и (3) получаем:
f 1 (a 1) = max {-x 1 + 4a 1 + f 2 (a 2)}=
0 ≤ x ≤ a 1
= max {-x 1 + 4a 1 + 5a 2 }= max {-x 1 + 4a 2 + 5(0,3x 1 + 0,2a 2)}= max {0,5x 1 + 5a 1 }=5,5a 1
0 ≤ x ≤ a
1
при x 1 = a 1
.
Итак, для первого этапа f 1 (a 1) = 5,5
a 1 ,
x 1 =
a 1 ,
y 1 = 0.
Процесс закончен. На первом этапе общее количество распределяемых средств известно -a 1
= 900 ед. Тогда максимальный доход, получаемый обоими предприятиями за три года составит f 1 (a 1) = 5,5*900 = 4950 ден. ед.
II. Безусловная оптимизация
Выясним, каким должно быть оптимальное управление процессом выделения средств между первым и вторым предприятиями для получения максимального дохода в количестве 4950 ден. ед.
1-й год.
Так как x 1 =
a 1
и ,
y 1 = 0,
то все средства в количестве 900 ден. ед. отдаются первому предприятию.
2-й год.
Выделяются средства a 2 = 0,3x 1 + 0,2a 1 = 0,5 a 1
=450 ед., x 2 = a 2 , y 2 = 0.
Все они передаются первому предприятию.
3-й год
. Выделяются средства a
3 = 0,3x 2
+ 0,2a 2
= 0,5 a 2
= 225 ед., x 3 = 0,
y 3 =
a 3
. Все они передаются второму предприятию.
Результаты решения представим в виде таблицы.
| Период | Средства | Предприятие №1 | Предприятие №2 | Остаток | Доход |
| 1 | 900 | 900 | 0 | 450 | 2700 |
| 2 | 450 | 450 | 0 | 225 | 1350 |
| 3 | 225 | 0 | 225 | 45 | 900 |
| 4950 |
Пример №2 . Оптимальное поэтапное распределение средств между предприятиями в течении планового периода.
Руководство фирмы, имеющей договор о сотрудничестве с тремя малыми предприятия, на плановый годовой период выделила для них оборотные средства в объеме 100000 у.е. Для каждого предприятия известны функции поквартального дохода и поквартального остатка оборотных средств в зависимости от выделенной на квартал суммы x. В начале квартала средства распределяются полностью между тремя предприятиями (из этих вложенных средств и вычисляется доход), а по окончанию квартала остатки средств аккамулируются у руководства фирмы и снова распределяются полностью между предприятиями.
Составить план поквартального распределения средств на год (4 квартала), позволяющего достичь максимальный общий доход за год.
f 1 (x)=1,2x, f 2 (x)=1.5x, f 3 (x)=2x; g 1 (x)=0.7x, g 2 (x)=0.6x, g 3 (x)=0.1x
Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция или ограничения, или же и первое, и второе одновременно характеризуются нелинейными зависимостями.
Данный раздел представлен следующими калькуляторами:
- . Распределении инвестиций между предприятиями П 1 , П 2 ,..., П n . Инвестируемая сумма E усл. ден. ед.
- Задача распределения ресурсов . Планируется работа двух предприятий на n лет. Начальные ресурсы равны s 0 .
- Складская задача : составить оптимальную программу выпуска продукции X , которая минимизирует суммарные издержки предприятия.
- Задача о рюкзаке (решение задачи о загрузке транспортного средства).
Задача распределения инвестиций
В задачах данного типа заданы сумма инвестиций (или сумма для распределения) и таблица планируемой прибыли. Если сумма для распределения явно не задана, то ее можно найти из таблицы - она равна максимальному значению x i (последняя строчка таблицы).Таблицы могут иметь разный вид.
Таблица 1 - Первый вариант таблицы исходных данных
|
x |
f 1 (x ) |
f 2 (x ) |
f 3 (x ) |
|
5 * |
* - здесь значение 5 - максимальное значение (сумма для распределения).
Таблица 2 - Второй вариант таблицы исходных данных
|
x |
|||||
|
f 1 (x ) |
|||||
|
f 2 (x ) |
|||||
|
f 3 (x ) |
Пример задачи.
Для двух предприятий выделено A единиц средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим, если известно, что доход от x единиц средств, вложенных в первое предприятие, равен f 1 (х), а доход от y единиц средств, вложенных во второе предприятие, равен f 2 (y). Остаток средств к концу года составляет g 1 (x) для первого предприятия и g 2 (y) для второго предприятия. Задачу решить методом динамического программирования.
При вводе данных первую нулевую строку можно не заполнять.
В сервисе Задача распределения инвестиций используется метод обратной прогонки.
Метод прогонки
Данная задача соответствует задаче распределения инвестиций. Разница состоит в оформлении результатов полученного решения и применения метода прямой прогонки.В сервисе Метод прогонки необходимо также выбрать метод решения: процедура прямой или обратной прогонки.
Задача замены оборудования
Цель решения - определить на каких шагах алгоритма (в какие годы) необходимо заменить оборудование. Для этого вводятся Период эксплуатации (в годах) и Стоимость нового оборудования . После этого необходимо заполнить таблицу дохода r(t) и остаточной стоимости S(t).Задача замены оборудования
Планирование производственной линии
Задача последовательной обработки на двух машинах N различных деталей, если известно время A i и B i обработки i -й детали на соответствующих машинах. Требуется найти порядок обработки, минимизирующий время простоя второй машины и тем самым сокращающий общее время обработки деталей.Имеется определенное количество ресурсов s 0 , которое необходимо распределить между n хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц, квартал, полугодие, год и т.д.) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов x i (;) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны некоторой величине h. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств x i за рассматриваемый период приносит прибыль в размере f i (x i) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты).
Представим процесс распределения ресурсов между хозяйствующими субъектами как n-шаговый процесс управления (номер шага совпадает с условным номером хозяйствующего субъекта). Пусть s k () - параметр состояния, т.е. количество свободных средств после k-го шага для распределения между оставшимися (n - k) хозяйствующими субъектами. Тогда уравнения состояний можно записать в следующем виде:
Введем в рассмотрение функцию - условно оптимальная совокупная прибыль, полученная от k-го, (k+1) - го, …, n-го хозяйствующих субъектов, если между ними оптимальным образом распределялись ресурсы в объеме s k-1 (). Множество возможных управленческих решений относительно размера распределяемых ресурсов на k-ом шаге можно представить следующим образом: .
Тогда рекуррентные уравнения Р.Э. Беллмана (обратная схема) будут иметь вид:
Пример. Имеется определенное количество ресурсов s 0 =100, которое необходимо распределить между n=4 хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц) с целью получения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов x i (;) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны величине h=20 и заданы вектором Q. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств x i за рассматриваемый период приносит прибыль в размере f i (x i) () (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты):
Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.
Решение. Составим рекуррентные уравнения Беллмана (обратную схему):
Определим условные максимумы в соответствии с (13), результаты расчетов представлены в таблице 1.
Таблица 1. Расчет условных оптимумов
|
22+20=42 |
|||||||||||
|
22+33=55 |
17+42=59 |
||||||||||
|
22+46=68 |
17+55=72 |
14+59=73 |
|||||||||
|
67+20=87 |
|||||||||||
По результатам условной оптимизации определим оптимальное распределение ресурсов:
Таким образом, оптимальное распределение ресурсов:
которое обеспечит наибольшую прибыль в размере 87 усл. ден. ед.
Ответ: оптимальное распределение ресурсов: , которое обеспечивает наибольшую прибыль в 87 усл. ден. ед.
Вывод
Динамическое программирование - это область математического программирования, включающая совокупность приемов и средств для нахождения оптимального решения, а также оптимизации каждого шага в системе и выработке стратегии управления, то есть процесс управления можно представить, как многошаговый процесс. Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач. Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель. Однако динамическое программирование имеет и свои недостатки. В отличие от линейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического программирования заключается также в трудоемкости решения многомерных задач. Задача динамического программирования должна удовлетворять два условия. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе - условием аддитивности целевой функции задачи. На практике встречаются такие задачи планирования, в которых заметную роль играют случайные факторы, влияющие как на состояние системы, так и на выигрыш. Существует разница между детерминированной и стохастической задачами динамического программирования. В детерминированной задаче оптимальное управление является единственным и указывается заранее как жесткая программа действий. В стохастической задаче оптимальное управление является случайным и выбирается в ходе самого процесса в зависимости от случайно сложившейся ситуации. В детерминированной схеме, проходя процесс по этапам от конца к началу, тоже находится на каждом этапе целый ряд условных оптимальных управлений, но из всех этих управлений, в конечном счете осуществлялось только одно. В стохастической схеме это не так. Каждое из условных оптимальных управлений может оказаться фактически осуществленным, если предшествующий ход случайного процесса приведет систему в соответствующее состояние. Принцип оптимальности является основой поэтапного решения задач динамического программирования. Типичными представителями экономических задач динамического программирования являются так называемые задачи производства и хранения, задачи распределения капиталовложений, задачи календарного производственного планирования и другие. Задачи динамического программирования применяются в планировании деятельности предприятия с учетом изменения потребности в продукции во времени. В оптимальном распределении ресурсов между предприятиями в направлении или во времени. Описание характеристик динамического программирования и типов задач, которые могут быть сформулированы в его рамках, по необходимости должно быть очень общим и несколько неопределенным, так как существует необозримое множество различных задач, укладывающихся в схему динамического программирования. Только изучение большого числа примеров дает отчетливое понимание структуры динамического программирования.
- 1.03 МбДадим математическую
формулировку принципа оптимальности.
Для простоты будем считать, что
начальное x 0 и конечное x T состояния системы заданы.
Обозначим через z 1 (х 0 , u 1) значение функции
цели на первом этапе при начальном состоянии
системы x 0 и при управлении u 1 , через z 2 (х 1 ,u 2) – соответствующее
значение функции цели только на втором
этапе, ..., через
z i (х i -1 ,u i)
– на i-м этапе, ..., через z N (х N -1 , u N) -на N-м этапе. Очевидно, что
Надо найти оптимальное управление u*= (; ;...;), такое, что доставляет экстремум целевой функции (1) при ограничениях.
Для решения этой задачи погружаем ее в семейство подобных. Введем обозначения. Пусть – соответственно области
определения для подобных
задач на последнем этапе, двух последних
и т. д.;
– область определения исходной задачи.
Обозначим через F 1 (x N -1), F 2 (x N -2), …, F k (x N -k), …, F N (x 0) соответственно условно-оптимальные
значения функции цели на последнем этапе,
двух последних и т. д., на k последних и т. д., на всех N этапах.
Начинаем с последнего этапа. Пусть х N-1 – возможные состояния системы на начало N-го этапа. Находим:
F 1 (x N -1) = z N (x N -1 , u N). (2)
Для двух последних этапов получаем
F 2 (x N -2) = (Z N -1 (x N -2 , u N -1) + F 1 (x N -1)). (3)
Аналогично:
F 3 (x N -3) = (Z N -2 (x N -3 , u N -2) + F 2 (x N -2)). (4)
………………………………………………….
F k (x N -k) = (z N-k +1 (x N -k , u N-k +1) + F k- 1 (x N-k +1)). (5)
…………………………………………………..
F N (x 0) = (z 1 (x 0 , u 1) + F N -1 (x 1)). (6)
Выражение (6) представляет собой математическую запись принципа оптимальности. Выражение (5) – общая форма записи условно-оптимального значения функции цели для k оставшихся этапов. Выражения (2) – (6) называются функциональными уравнениями Беллмана. Отчетливо просматривается их рекуррентный (возвратный) характер, т. е. для нахождения оптимального управления на N шагах нужно знать условно-оптимальное управление на предшествующих N – 1 этапах и т. д. Поэтому функциональные уравнения часто называют рекуррентными (возвратными) соотношениями Беллмана.
- Особенности задач динамического программирования
На основании выше сказанного можно выделить следующие особенности задач динамического программирования.
- Рассматривается система, состояние которой на каждом шаге определяется вектором x t . Дальнейшее изменение ее состояния зависит только от данного состояния x t и не зависит от того, каким путем система пришла в это состояние. Такие процессы называются процессами без последействия.
- На каждом шаге выбирается одно решение u t , под действием которого система переходит из предыдущего состояния x t -1 в новое х t . Это новое состояние является функцией состояния на начало интервала x t -1 и принятого в начале интервала решения u t , т. е. x t = x t (x t -1 ,u t).
- Действие на каждом шаге связано с определенным выигрышем (доходом, прибылью) или потерей (издержками), которые зависят от состояния на начало шага (этапа) и принятого решения.
- На векторы состояния и управления могут быть наложены ограничения, объединение которых составляет область допустимых решений.
- Требуется найти такое допустимое управление u t для каждого шага t, чтобы получить экстремальное значение функции цели за все Т шагов.
Любую допустимую последовательность действий для каждого шага, переводящую систему из начального состояния в конечное, называют стратегией управления. Стратегия управления, в результате которой можно получить экстремальное значение функции цели, называется оптимальной.
Геометрическая интерпретация задачи динамического программирования состоит в следующем. Пусть n – размерность пространства состояний. В каждый момент времени координаты системы имеют вполне определенное значение. С изменением времени t могут изменяться значения координат вектора состояния. Назовем переход системы из одного состояния в другое траекторией ее движения в пространстве состояний. Такой переход осуществляется воздействием на координаты состояния. Пространство, в котором координатами служат состояния системы, называется фазовым. Особенно наглядно задачу динамического программирования можно интерпретировать в случае, если пространство состояний двухмерно. Область возможных состояний в этом случае изобразится некоторой фигурой, начальное и конечное состояния системы – точками х 0 , (рис. 1). Управление – это воздействие, переводящее систему из начального состояния в конечное. Для многих экономических задач не известно начальное либо конечное состояние, а известна область X 0 или X T , которой эти точки принадлежат.
Рисунок 1
Тогда допустимые управления переводят точки из области Х 0 в X T . Задача динамического программирования геометрически может быть сформулирована следующим образом: найти такую фазовую траекторию, начинающуюся в области Х 0 и оканчивающуюся в области Х T , для которой функция цели достигает экстремального значения. Если в задаче динамического программирования известны начальное и конечное состояния, то говорят о задаче с закрепленными концами. Если известны начальные и конечные области, то говорят о задаче со свободными концами.
- ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
2.1 Общая постановка задачи
Рассмотрим применение метода динамического программирования на примере распределения средств между шестью объектами реконструкции предприятия горводоканала:
1. Центральная насосно- фильтровальная станция;
2. Восточная насосно- фильтровальная станция;
3. Водопроводная насосная станции перекачки;
4. Центральная станция аэрации;
5. Восточная станция аэрации;
6. Загородная станция аэрации.
Общая сумма средств, предоставленная на развитие составляет не более 195 тысяч гривен. На основе технико-экономических расчетов установлено, что в результате реконструкции в зависимости от количества потраченных средств объекты будут иметь производительность, приведенную в таблице 1.1. Необходимо определить оптимальное распределение средств между объектами реконструкции, которая обеспечит максимальное увеличение производительности этих объектов. Таким образом, в этой задаче используется критерий оптимизации - суммарная производительность предприятий объектов реконструкции.
Таблица 1.1 Входные данные продуктивности объектов реконструкции
Порядковый номер объекта |
Объем ресурсов, выданных на развитие объектов (тыс. грн.) |
|||||||||||||
Продуктивность объектов результате развития (тыс. м3) |
||||||||||||||
- Блок схема программы
Рисунок 1. Основная программа
QtObj – количество объектов
QtRes – количество ресурсов
effMatrix - матрица производительности объектов,
distVector – вектор выделенных ресурсов
Шаг 1. Условная оптимизация
Шаг 2. Безусловная оптимизация
I = QtObj-1,0 формируем вектор результат
Рисунок 2. Ввод данных
distVector – вектор дистанций, effMatrix = матрица производительности
если все элементы матрицы введены
если вектор производительности- не
отрицательный
Рисунок 3. Условная оптимизация,
формируем мартицу выхода (максимум функции цели)
outMatrix – матрица максимума цели
QtObj – количество объектов
QtRes – количество ресурсов
Matrix – матрица производительности
distVect – вектор дистанций (вектор ресурсов)
нет да Если первое предприятие
Поиск максимума
да maxItem = temp; outMatrix[i][j] = maxItem
- Структура алгоритма программы
- Ввод данных – класс DataDlg.
Переменные члены класса.
//вектор для хранения объема ресурсов
std::vector
//матрица производительности объектов
int** effMatrix;
//функция перевода строки в число
int StringToInt(CString);
//функция проверки корректности введенных данных
BOOL FillMatrix();
//функция очистки ресурсов, после закрытия окна
virtual BOOL DestroyWindow();
//функция инициализации диалога
virtual BOOL OnInitDialog();
- Вычисление результатов – основ ной класс программы courseWorkDlg
Переменные члены класса
int Value; //значение производительности
int MaxIndex;// максимальный индекс в векторе ресурсов
int Facility;//предприятие
int Recource;//выделенный ресурс
Item ** outMatrix; //матрица максимума цели
std::vector
void BuildOutMatrix(int **,std::vector
afx_msg void OnBnClickedButton1();// обработчик нажатия на кнопку «Вычислить», который запускает процесс вычислений.
virtual BOOL DestroyWindow();//очистка ресурсов программы
- Вывод результатов класс Report
Назначение данного класса – это вывод вектора результата в табличной форме.
2.4 Результаты работы программы
Начальный ввод данных
- Ввод данных о продуктивности объектов реконструкции
- Если не все поля заполнены
- Если введен неправильный символ
Корректный ввод данных
Показ результата
- Ввод данных
Результат работы программы
Начальный ввод данных
Ввод продуктивности объектов
Приложение.
Листинг программы
int DataDlg::StringToInt(CString str)
const wchar_t* s = T2CW(str);
int val = _wtoi(s);
// все поля заполнены?
BOOL DataDlg::FillMatrix()
bool flag = true;
for (int i = 0; i < Cells.GetSize(); i ++){
for (int j = 0 ; j < Cells.GetAt(i)->Edits.GetSize(); j ++){
CEdit * temp = Cells.GetAt(i)->Edits.GetAt(j) ;
if (temp->m_hWnd != NULL){
temp->GetWindowText(str);
if (str.IsEmpty()){
MessageBox(L"Нужно заполнить все поля", L"Ошибка", MB_ICONERROR | MB_OK);
Описание работы
Целью данной работы является реализация на ЭВМ решения задачи оптимального распределения средств на расширение производства.
Задачи курсовой работы:
Рассмотреть теоретические аспекты решения задач динамического программирования; рекуррентность природы задач данного типа; принципы оптимальности Беллмана.
Разработка алгоритма. Блок - схемы. Структура алгоритма.
Реализация на ЭВМ разработанного алгоритма на выбранном языке программирования.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………2
Динамическое программирование
Основные понятия …………………4
Принципы динамического программирования. Функциональные уравнения Беллмана …………………….5
Особенности задач динамического программирования……………….10
Задача распределения ресурсов……………………12
Общая постановка задачи ………………………….13
Блок схема программы
Структура алгоритма программы
Результат работы программы
Заключение
Список используемой литературы
Такого рода задачи основаны на функции Беллмана и при решении используется метод обратной прогонки (см. Типовые задания). Также можно воспользоваться сервисом Процедура прямой прогонки .
Инструкция . Выберите количество предприятий и количество строк (количество вариантов эффективного вложения), нажмите Далее (см. Пример заполнения). Если доход и остатки предприятий задан в виде функций f(x) и g(x) , задача решается через этот калькулятор .
Пример №1 . Определите оптимальный план расширения производства трех предприятий, если известна их прибыль в год при отсутствии вложений и при инвестировании 1, 2, 3 или 4 млн. Определите, при каком инвестировании будет максимальный процент прироста прибыли.
| f1 | f2 | f3 | x i |
| 40 | 30 | 35 | 0 |
| 90 | 110 | 95 | 1 |
| 395 | 385 | 270 | 2 |
| 440 | 470 | 630 | 3 |
| 620 | 740 | 700 | 4 |
I этап. Условная оптимизация
.
1-ый шаг. k = 3.
| e 2 | u 3 | e 3 = e 2 - u 3 | f 3 (u 3) | F* 3 (e 3) | u 3 (e 3) |
| 1 | 0 | 1 | 35 | ||
| 1 | 0 | 95 | 95 | 1 | |
| 2 | 0 | 2 | 35 | ||
| 1 | 1 | 95 | |||
| 2 | 0 | 270 | 270 | 2 | |
| 3 | 0 | 3 | 35 | ||
| 1 | 2 | 95 | |||
| 2 | 1 | 270 | |||
| 3 | 0 | 630 | 630 | 3 | |
| 4 | 0 | 4 | 35 | ||
| 1 | 3 | 95 | |||
| 2 | 2 | 270 | |||
| 3 | 1 | 630 | |||
| 4 | 0 | 700 | 700 | 4 |
2-ый шаг. k = 2.
| e 1 | u 2 | e 2 = e 1 - u 2 | f 2 (u 2) | F* 2 (e 1) | F 1 (u 2 ,e 1) | F* 2 (e 2) | u 2 (e 2) |
| 1 | 0 | 1 | 30 | 95 | 125 | 125 | 0 |
| 1 | 0 | 110 | 0 | 110 | |||
| 2 | 0 | 2 | 30 | 270 | 300 | ||
| 1 | 1 | 110 | 95 | 205 | |||
| 2 | 0 | 385 | 0 | 385 | 385 | 2 | |
| 3 | 0 | 3 | 30 | 630 | 660 | 660 | 0 |
| 1 | 2 | 110 | 270 | 380 | |||
| 2 | 1 | 385 | 95 | 480 | |||
| 3 | 0 | 470 | 0 | 470 | |||
| 4 | 0 | 4 | 30 | 700 | 730 | ||
| 1 | 3 | 110 | 630 | 740 | 740 | 1 | |
| 2 | 2 | 385 | 270 | 655 | |||
| 3 | 1 | 470 | 95 | 565 | |||
| 4 | 0 | 740 | 0 | 740 |
3-ый шаг. k = 1.
| e 0 | u 1 | e 1 = e 0 - u 1 | f 1 (u 1) | F* 1 (e 0) | F 0 (u 1 ,e 0) | F* 1 (e 1) | u 1 (e 1) |
| 1 | 0 | 1 | 40 | 125 | 165 | 165 | 0 |
| 1 | 0 | 90 | 0 | 90 | |||
| 2 | 0 | 2 | 40 | 385 | 425 | 425 | 0 |
| 1 | 1 | 90 | 125 | 215 | |||
| 2 | 0 | 395 | 0 | 395 | |||
| 3 | 0 | 3 | 40 | 660 | 700 | 700 | 0 |
| 1 | 2 | 90 | 385 | 475 | |||
| 2 | 1 | 395 | 125 | 520 | |||
| 3 | 0 | 440 | 0 | 440 | |||
| 4 | 0 | 4 | 40 | 740 | 780 | 780 | 0 |
| 1 | 3 | 90 | 660 | 750 | |||
| 2 | 2 | 395 | 385 | 780 | |||
| 3 | 1 | 440 | 125 | 565 | |||
| 4 | 0 | 620 | 0 | 620 |
Примечание : Столбцы 1 (вложенные средства), 2 (проект) и 3 (остаток средств) для всех трех таблиц одинаковы, поэтому их можно было бы сделать общими. Столбец 4 заполняется на основе исходных данных о функциях дохода, значения в столбце 5 берутся из столбца 7 предыдущей таблицы, столбец 6 заполняется суммой значений столбцов 4 и 5 (в таблице 3-го шага столбцы 5 и 6 отсутствуют).
В столбце 7 записывается максимальное значение предыдущего столбца для фиксированного начального состояния, и в 8 столбце записывается управление из 2 столбца, на котором достигается максимум в 7.
Этап II. Безусловная оптимизация .
Из таблицы 3-го шага имеем F* 1 (e 0 = 4 млн.руб.) = 780 тыс.руб., то есть максимальная прибыль от инвестирования e 0 = 4 млн.руб. равна 780 тыс.руб.
Из этой же таблицы получаем, что первому предприятию следует выделить u* 1 (e 0 = 4 млн.руб.) = 0 млн.руб.
При этом остаток средств составит: e 1 = e 0 - u 1 , e 1 = 4 - 0 = 4 млн.руб.
Из таблицы 2-го шага имеем F* 2 (e 1 = 4 млн.руб.) = 740 тыс.руб., т.е. максимальная прибыль при e 1 = 4 млн.руб. равна 740 тыс.руб.
Из этой же таблицы получаем, что второму предприятию следует выделить u* 2 (e 1 = 4 млн.руб.) = 1 млн.руб.
При этом остаток средств составит: e 2 = e 1 - u 2 , e 2 = 4 - 1 = 3 млн.руб.
Последнему предприятию достается 3 млн.руб. Итак, инвестиции в размере 4 млн.руб. необходимо распределить следующим образом: первому предприятию ничего не выделять, второму предприятию выделить 1 млн.руб., третьему предприятию выделить 3 млн.руб., что обеспечит максимальную прибыль, равную 780 тыс.руб.
Пример №2 . Имеются 4 предприятия, между которыми необходимо распределить 100 тыс. усл. ед. средств. Значения прироста выпуска продукции на предприятии в зависимости от выделенных средств Х представлены в таблице. Составить оптимальный план распределения средств, позволяющий максимизировать общий прирост выпуска продукции.
