16. На пяти одинаковых карточках написаны буквы. И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится МИНСК?
Ответ : 1/120
17. Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово тор?
Ответ : 1/15
18 . На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова талант – по одной букве на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны. Их вынимают наудачу и располагают на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово талант?
Ответ : 1/180
19. Контролер, проверяя качество 400 изделий, установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, остальные – к первому. Найти частоту изделий второго сорта.
Ответ : 0,05
20. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Ответ : 0,5
21. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.
Ответ : 0,385
22. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что взяты 1 зеленый, 2 голубых,3 красных шара?
Ответ : 0,17
23. В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наудачу выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров 2 голубых.
Ответ: 0,4196
24. Игральный кубик подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом грани 1,2,3,4,5,6 выпадут соответственно 2,3,1,1,1,2 раза?
Ответ: 0,002
25. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Б, Е, Р, С, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово БРЕСТ?
Ответ : 1/120
26. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наудачу вынимается 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары разного цвета.
Ответ : 5/9
27. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
Ответ : 18/35
28. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3красных и 5 голубых. Наудачу извлечены 3 шара. Найдите вероятность того, что все 3 шара разного цвета.
Ответ : 0,25
29. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что, извлекая карточки по одному наугад, получим в порядке их выхода слово молот?
Ответ : 1/60
30. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия. Найдите вероятность того, что в полученной выборке одно изделие бракованное.
Ответ : 21/40
31. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов один выигрышный?
Ответ : 5/9
32. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракованных. Найти частоту бракованных деталей.
Ответ : 0,016
33. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?
Ответ : 1/6
34. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?
Ответ : 0,515
35. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?
Ответ : 0,75
36 . При стрельбе по мишени частота попаданий W=0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.
Ответ : 30
37. Частота нормального всхода семян W=0,97. Из высеянных семян
взошло 970. Сколько семян было высеяно?
Ответ : 1000
38. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.
образом отбирают три карточки и раскладывают их в порядке
поступления в ряд слева направо. Найти вероятности событий:
а) появится число 123;
б) появится число, не содержащее цифры 3 ;
в) появится число, состоящее из последовательных цифр;
г) появится четное число.
Задача 2
Тема: Алгебра событий. Действия над событиями
(сформулированный ответ обосновать)
По мишени произвели два выстрела. Образуют ли события:
A = { мишень поражена };
B = { по крайней мере один выстрел был неудачным }
полную группу? Являются ли эти события несовместными?
Событие B равно: .
Что
представляет собой противоположное
событие
?
Событие B является частным случаем события A .
Что представляют собой их сумма и произведение?
Бросают игральный кубик. Образуют ли полную группу события:
A = { выпадение четного числа очков };
B = { выпадение числа очков, большего или равного пяти };
C = { выпадение единицы }?
Бросают две монеты. Рассматриваются события:
A = {два герба}; В = { две цифры };
C = { выпадение герба на второй монете }.
Образуют ли события A, B, С полную группу?
Совместны ли события B и C ?
При каком условии выполняется равенство: A+B+C = B ?
Событие A является частным случаем события B.
Какое из следующих равенств справедливо:
A + B = A ; A · B = A; A + B = A · B ?
Бросают два игральных кубика. Рассматриваются события:
A 1 = { на обоих кубиках шестерки };
A 2 = { ни на одном кубике шестерок нет};
A 3 = { на одном кубике шестерка, на другом нет}.
Образуют ли эти события полную группу?
Какие из них совместны, какие нет?
Пусть A, B, C – случайные события.
При каком условии выполняется равенство: A · B · C = B ?
Бросаются последовательно три монеты. Определить, зависимы
или нет события: A = { выпадение герба на первой монете };
B = { выпадение хотя бы одной цифры } ?
Задача 3
Тема : Теоремы сложения и умножения вероятностей
Проверяют качество изделий. Для каждого из них вероятность того, что оно будет первого сорта, равна 0,3. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий первосортным окажется только одно.
При изготовлении детали заготовка должна пройти через четыре операции. Вероятность брака на первой из операций равна 0,02; на второй – 0,01; на третьей – 0,02; на четвертой – 0,03 .
Появление брака на каждой из операций - события независимые.
Найти вероятность изготовления нестандартной детали.
Вцехе 4 станка. Для любого из них вероятность выхода из строя равна 0,1. Найти вероятность того, что в данный момент неисправен ровно один станок.
Впункте продажи железнодорожных билетов 4 кассы. Для любой из них вероятность того, что касса в данный момент окажется свободной, равна 0,2. Найти вероятность того, что подошедший пассажир сможет купить билет, не ожидая в очереди.
Индикатор цели состоит из трех датчиков. Вероятность обнаружения
цели для любого из датчиков равна 0,7 . Найти вероятность того, что цель будет обнаружена, если индикатор включается при срабатывании хотя бы двух датчиков.
Студент знает 30 вопросов из 50. Найти вероятность того, что он ответит хотя бы на один вопрос из четырех предложенных.
Найти вероятность того, что в мишени будет ровно 3 пробоины, если по ней сделано 4 выстрела с вероятностью попадания в каждом 0,8.
Имеется две коробки с цветными шарами. В первой 7 красных и 3 белых; во второй 4 красных и 6 белых. Из каждой коробки достают по одному шару. Найти вероятность того, что среди них окажется один красный и один белый.
Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятность
того, что первый успешно пройдет отбор и попадет в сборную, равна 0,8; для второго вероятность равна 0,6; для третьего - 0,5. Найти вероятность того, что хотя бы один из этих спортсменов в сборную попадет.
Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,6 ;
второй - 0,9; третий - 0,8. Найти вероятность того, не менее двух
экзаменов он сдаст.
Задача 4
Надежности элементов, ее составляющих, указаны на схеме.
4. 2
Задача 5
Тема : Формула полной вероятности и формула Бейеса
Добираясь на работу, служащий может выбирать три маршрута.
Первый из них самый короткий, но на нем вероятность опоздания
равна 0,25. При выборе второго вероятность опоздания – 0,15. На третьем, самом длинном маршруте, эта вероятность равна 0,05. Первый маршрут человек выбирает в 60 % случаев, второй – в 30 % случаев. Какова вероятность того, что сегодня он успеет на работу вовремя?
В магазине имеются в продаже однотипные изделия трех фирм в
равных количествах. У изделий, изготавливаемых первой фирмой,
вероятность наличия дефекта равна 0,1; у изделий второй фирмы – 0,05; у изделий третьей фирмы – 0,02. Наугад взятое изделие оказалось дефектным. Какова вероятность того, что оно изготовлено первой фирмой?
Студент выучил 20 билетов из 30. Что для него лучше, идти отвечать первым, вторым или третьим?
Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попаданий: первого - 0,7; второго - 0,9; третьего - 0,8.
В мишени оказалось две пробоины. Какова вероятность того, что промахнулся второй стрелок?
Группа из 30 студентов идет сдавать экзамен по теории вероятностей.
Десять из них изучили весь материал и поэтому для них вероятность
сдать экзамен равна 90%. Двенадцать человек изучили 75% вопросов, для них вероятность сдать экзамен равна 60%. Остальные идут на экзамен почти ничего не изучив, поэтому у них вероятность сдать экзамен равна 0,001. Какова вероятность того, что наугад взятый студент экзамен сдаст?
Контроль качества осуществляют два контролера. Первый проверяет 60% изделий, второй - 40%. У первого контролера вероятность
пропустить брак равна 0,02, у второго – 0,01. Из изделий, уже прошедших контроль, наугад выбрано одно, и оно оказалось дефектным. Какова вероятность того, что пропустил брак первый контролер?
В коробке лежит шар неизвестного цвета - с равной вероятностью белый или черный. В нее опускают один белый шар и после тща-
тельного перемешивания наугад достают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар, оставшийся в урне, тоже белый?
На завод поступает сырье от трех поставщиков. Вероятность изготовить качественную продукцию из сырья, поставляемого первым из
них, равна 0,75 ; из сырья, изготовляемого вторым, -0,9; третьим-0,8. На складе имеется 40% упаковок от первого поставщика; 25% – от второго и 35% от третьего. Какова вероятность того, что из наугад взятой со склада упаковки будет изготовлена качественная продукция?
Система состоит из двух блоков, работающих и отказывающих независимо друг от друга, причем для ее работы нужно, чтобы работали
оба блока. Для первого из них вероятность безотказной работы равна 0,8, для второго -0,9. Система испытывалась и вышла из строя. Какова вероятность того, что отказал именно второй элемент?
Имеются две коробки с цветными шарами. В первой 6 белых и 4 черных. Во второй 3 белых и 2 черных. Из второй коробки наугад
достают два шара и перекладывают в первую. Затем из первой наугад достают один шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?
Задача 6
Составить закон распределения для случайной величины,
указанной в условии задачи
Вероятность попадания в первом выстреле равна 0,7; во втором -0,9;
втретьем-0,8. Случайная величина X-число попаданий в трех выстрелах.
Случайная величина X - сумма числа очков, выпавших на двух кубиках.
Случайная величина X - число гербов, выпавших при бросании трех монет.
Прибор состоит из трех элементов, работающих и отказывающих независимо друг от друга. Надежности элементов: первого - 0,6; второго - 0,9; третьего - 0,8. Случайная величина X - число отказавших элементов.
Вероятность попадания стрелка в одном выстреле равна 0,7. Патроны ему выдают до первого промаха. Случайная величина X - число использованных патронов.
В коробке лежат 5 красных, 7 белых и 8 черных шаров. Наугад достают три шара. Случайная величина X -число извлеченных белых шаров.
Бросают три игральных кубика. Случайная величина X - число выпавших шестерок.
В партии изделий 8 качественных и два дефектных. Наугад отбирают три. Случайная величина X - число дефектных среди них.
Студенту задают вопросы до первого неправильного ответа. На 80 % вопросов ответы он знает. Случайная величина X - число заданных вопросов.
Впартии деталей 10 % брака. Наугад берут 4 детали. Случайная величина X - число бракованных среди них.
Задача 7
Тема : Закон распределения дискретной случайной величины
Дискретная случайная величина задана рядом распределения .
Необходимо:
Записать пропущенную вероятность.
Записать значения функции распределения F(x) в указанных точках.
Записать функцию распределения при любых значениях аргумента,
построить ее график.
Вычислить числовые характеристики случайной величины:
m x , m o , D x , s x .
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=2); P(X=9);
P(X<5); P(X>8); P(4
F(0); F(4); F(10); F(40).
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=9); P(X=4);
P(X<8); P(X>2); P(5
F(–3); F(6); F(12); F(70).
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=5); P(X=7);
P(X<3); P(X>6); P(2
F(–8); F(5); F(12); F(35).
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=11); P(X=0);
P(X<10); P(X>4); P(5
F(–5); F(6); F(11); F(90).
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=12); P(X=6);
P(X<7); P(X>2); P(5
F(–1); F(5); F(8); F(90).
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=3); P(X=5);
P(X<8); P(X>6); P(3
F(–4); F(5); F(11); F(37).
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=1); P(X=7);
P(X<8); P(X>5); P(6
F(2); F(7); F(12); F(45).
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=4); P(X=9);
P(X<10); P(X>7) P(2
F(5); F(11); F(15); F(45).
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=3); P(X=15);
P(X<6); P(X>9); P(2
F(–5); F(6); F(11); F(33).
|
x i | |||||||||
|
p i |
P(X=1); P(X=12);
P(X<6); P(X>7); P(3
F(1); F(8); F(12); F(20).
Задача 8
Тема : Функция распределения
Для непрерывной случайной величины X задана функция распределения F(x).
Необходимо:
Найти значение параметра C из условия непрерывности F(x).
Построить график F(x).
Найти плотность распределения f(x) и построить ее график.
P(X<2);
P(X>3); P(–7
P(X<1,5); P(X>0,5);
P(–3
P(X<
p
/4);
P(X>
p
/3);
P(–5
P(1
P(X<
p
/
4); P(X>2); P(–5
P(0,5
P(–7
P(X>
);
P(–4
P(X<2,5); P(X>5);
P(–3
P(X<1); P(2
Задача 9
Тема : Плотность распределения
Для непрерывной случайной величины X задана плотность распределения f(x).
Необходимо:
1. Найти значение параметра C, входящее в формулу плотности.
Построить график f(x) .
3. Найти числовые характеристики случайной величины:
m x , m o , m e , D x , s x .
4. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
P(X<2); P(X>3);
P(–7
P(X<1,5); P(X>0,5);
P(–3
P(X<
p
/
4); P(X>
p
/
3); P(–5
P(p
/
6
P(1
P(X< 1/4);
P(X>2); P(–5
P(0,5
P(–7
p
P(X<2,5
p
);
P(X>3
p
/
4); P(–2
p
P(X>1/2);
P(–4
P(X<2,5); P(X>5);
P(–3
P(X<1); P(2
Задача 10
Тема : Вероятность попадания случайной величины
в заданный интервал
Найти вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал (a , b ) , если она распределена по указанному закону :
1) равномерное распределение на интервале (a, b);
2) показательное распределение с математическим ожиданием ,
равным b;
3) нормальное распределение с математическим ожиданием,
равным a , и среднеквадратическим отклонением, равным a .
a = 1 ; b = 10 ; a = 8 ; b = 15 .
a = 2 ; b = 8 ; a = 3 ; b = 12 .
a = 3 ; b = 7 ; a = 5 ; b = 10 .
a = 4 ; b = 12 ; a = 6 ; b = 15 .
a = 5 ; b = 9 ; a = 7 ; b = 11 .
a = 6 ; b = 10 ; a = 8 ; b = 12 .
a = 7 ; b = 12 ; a = 8 ; b = 14 .
a = 8 ; b = 15 ; a = 12 ; b = 16 .
a = 9 ; b = 14 ; a = 10 ; b = 15 .
a = 10 ; b = 16; a = 11 ; b = 20 .
Задача 11
Тема: Свойства числовых характеристик распределений.
Использование простейших законов распределения
Известно:
случайная величина X – показательная с параметром l = 0,05;
случайная величина Y – равномерная на интервале (1; 5) ;
случайная величина Z равна: Z = 7X – 2Y .
Найти m z ; D z .
Известно:
случайная величина X – нормальная с параметрами a =2; s = 4;
случайная величина Y – показательная с параметром l = 0,25;
случайная величина Z равна: Z = 4X – 7Y .
Найти m z ; D z .
Известно:
случайная величина X распределена по закону:
|
x i | ||||
|
p i |
случайная величина Y – показательная с параметром l = 0,1;
случайная величина Z равна: Z = 9X – 4Y .
Найти m z ; D z .
Известно:
случайная величина X – нормальная с параметрами a =4; s = 3;
случайная величина Y – равномерная на интервале (3; 7);
случайная величина Z – показательная с параметром l = 0,1;
случайная величина W равна: W = 3X + 2Y – 6Z .
Найти m w ; D w .
Известно:
случайная величина X – число очков, выпавших на кубике;
случайная величина Y – равномерная на интервале (8; 12) ;
случайная величина Z равна: Z = 6X – 11Y .
Найти m z ; D z .
Известно:
случайная величина X – показательная с параметром l = 0,05;
случайная величина Y – распределена по закону:
|
x i | ||||
|
p i |
случайная величина Z равна: Z = 5X – 13Y .
Найти m z ; D z .
Известно:
случайная величина Z – стандартная нормальная;
случайная величина Y – равномерная на интервале (4; 8);
у случайной величины X m x = 4 ; M[ X 2 ] =16 .
случайная величина равна: W = 4 · X · Z – 10Y .
Найти m z ; D z .
Известно:
случайная величина X – число гербов при бросании 10 монет ;
случайная величина Y – сумма очков на двух кубиках;
случайная величина Z равна: Z = 9X – 17Y .
Найти m z ; D z .
Известно:
случайная величина X распределена по закону :
|
x i | ||||
|
p i |
случайная величина Y – нормальная с параметрами a=5; s = 5;
случайная величина Z равна: Z = 5X – 8Y .
Найти m z ; D z .
Известно:
случайная величина X – показательная с параметром l = 0,1;
случайная величина Y – число цифр «6» при бросании трех кубиков;
случайная величина W – равномерная на интервале (– 7; 7);
случайная величина Z равна : Z = 3X – 3Y – 4W .
Найти m z ; D z .
Задача 12
Тема: Повторение опытов.
Биномиальное распределение и его предельные случаи
Вероятность выигрыша на игральном автомате равна 0,05.
Какова вероятность того, что при 50 попытках выигрыш будет
получен не менее 2 раз?
На потоке 100 студентов. Каждый из них может сдать экзамен по теории вероятностей с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что не менее 70 % студентов экзамен сдадут?
Из всех сходящих с конвейера изделий 5% имеют дефект.
Для контроля отбираются наугад 7 изделий. Какова вероятность
того, что среди них будет по крайней мере одно дефектное?
Вероятность попадания в одном выстреле равна 0,7. Найти вероят-
ность того, что в 50 выстрелах будет получено не менее 30 попаданий.
Вероятность ошибки в платежной ведомости равна 0,01. Какова
вероятность того, что из 50 ведомостей окажется хотя бы две
ошибочных?
Вероятность отказа при срабатывании реле равна 0,05. Какова
вероятность того, что из 50 реле по крайней мере три не сработают?
Втечение гарантийного срока выходят из строя в среднем 3%
изготавливаемых фирмой изделий. Найти вероятность того, что
из 50 проданных изделий возвращены будут не более двух.
Какова вероятность того, что при 50 бросаниях монеты герб
появится не более 15 раз?
Какова вероятность того, что при 5 бросаниях кубика цифра "6" появится не менее 3 раз?
Вцехе работают 80 человек. Каждый из них может не выйти на
работу с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что число
не вышедших на работу будет не более трех?
Задача 13
Тема : Поток событий. Случайное поле точек
Водном кубометре воды содержится в среднем 100 частиц тяжелых металлов. Берется проба объемом 2 литра. Найти вероятность того, что в ней будет обнаружена хотя бы одна частица.
На склад оборудования поступает в среднем 5 заявок в сутки.
Очередная заявка поступила в 10 00 . Какова вероятность того, что следующая поступит в интервале от 15 00 до 17 00 ?
Сбой в работе конвейера происходит в среднем 1 раз в 2 часа.
Какова вероятность того, что в течение 8 – часовой рабочей смены конвейер остановится не более 2 раз?
На междугородную телефонную станцию поступает в среднем 5 заявок в час. Найти вероятность того, что с 12 00 до 15 00 поступит не более 4 звонков.
Перегрузка энергосети возникает в среднем 3 раза в сутки.
Какова вероятность того, что за 8 часовую рабочую смену ни одной перегрузки не произойдет?
Вгороде происходит в среднем 5 дорожных аварий в час.
Какова вероятность того, что с 10 00 до 14 00 произойдет не более 8 аварий?
На заправочную станцию подъезжает в среднем 5 машин в час.
Какова вероятность того, что с 12 00 до 14 00 подъедут на заправку не менее шести машин?
Врулоне бумаги в среднем каждые 5 метров встречается дефект.
Какова вероятность того, что лист длиною 8 метров окажется без дефектов?
Телефон в офисе звонит в среднем каждые 10 минут. Какова
вероятность того, что с 15 00 до 16 00 будет не более 4 звонков?
При изготовлении магнитофонной ленты брак встречается в
среднем каждые 500 метров. Какова вероятность того, что на купленной кассете с длиною пленки в 200 метров брака не будет?
Задача 1. На 5 карточках разрезной азбуки написаны буквы п, р, с, о, т. Перемешанные карточки вынимаются наудачу по одной и располагаются в одну линию. Какова вероятность прочесть слово "спорт"?
Решение.
Искомую вероятность события А
(можно прочесть слово "спорт") определим по формуле . Здесь общее число всевозможных исходов – число перестановок из 5 элементов. Благоприятствующим исходам отвечает одно слово "спорт", т. е. . Таким образом, 
.
Задача 2. Из 9 карточек, занумерованных разными цифрами, выбираются наудачу 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров показывает возрастание.
Решение. Трехзначные числа – упорядоченные тройки элементов из 9 цифр – есть размещения из 9 по 3, т.е. . Число благоприятных исходов . Следовательно, искомая вероятность .
Задача 3. Среди 17 студентов группы, в которой 9 юношей, производится розыгрыш 7 билетов лотереи, причем каждый студент может выбрать только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов будет 4 девушки?
Решение.
Обозначим событие А
– среди 7 обладателей билетов будет 4 девушки. Количество равновозможных способов выбора по 7 человек из 17 равно 
.
Число благоприятных исходов, т. е. число выборок по 7, в которых 4 девушки сочетаются с 3 юношами, определяется по правилу произведения . Тогда искомая вероятность 
.
Задача 4. В секцию магазина поступило 10 велосипедов, из которых 4 – с дефектами. Наудачу взяты 3. Найти вероятность того, что среди взятых будут: а) все без дефектов; б) все одинакового качества.
Решение.
а) Событие А
– все 3 наудачу взятые из 10 велосипедов без дефектов. Число возможных исходов . Три велосипеда без дефектов можно выбрать из 6 имеющихся способами. Искомая вероятность 
.
б) Событие В – все 3 велосипеда одного качества, т.е. или 3 годные, или 3 с дефектами. Три годные из 6 можно выбрать способами, а 3 с дефектами из 4 имеющихся способами. Общее число способов выбора 3-х велосипедов одинакового качества по правилу суммы равно . Следовательно, .
Задача 5. Тонкую иглу (точку) бросают на отрезок . Какая вероятность того, что она попадет на отрезок ?
Решение. По условию игламожет упасть в любую точку указанного отрезка. В данном случае перечислитьвсе точки отрезка невозможно. Воспользуемся геометрическим определением и в качестве меры выберем длину отрезка . Интересующему нас событию благоприятствует ситуация, когда игла упадет в любую точку отрезка . Тогда .
Задачи для отчета преподавателю
А 1.1. На 6 карточках написаны буквы к, а, р, е, т, а. После того, как их тщательно перемешают, берут наудачу по 1 карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "ракета"?
А 1.2. Из разрезной азбуки выкладывается слово "статистика". Затем все буквы этого слова перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово "статистика"?
А 1.3. Из разрезной азбуки составлено слово "треугольник". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем выбрал 4 из них и собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него появятся слова: а) "руль"; б) "угол".
А 1.4. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какова вероятность того, что в нем: а) все цифры различны; б) все цифры нечетные; в) все цифры различны и четные?
А 1.5. По линии связи в случайном порядке передаются 30 знаков алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, образующих слово "режим".
А 1.6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что они различны, набрал эти цифры наудачу. Какова вероятность того, что набран нужный номер?
А 1.7. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со 2-го. Найти вероятность следующих событий: а) все пассажиры выйдут на 4-м этаже; б) все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже); в) все пассажиры выйдут на разных этажах.
А 1.8. В коробке содержится 4 одинаковых занумерованных кубика. Наудачу по одному извлекают все кубики из коробки. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
А 1.9. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: а) число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (например, 12321); б) число кратно 5; в) число состоит из нечетных цифр.
А 1.10. На понедельник в институте запланировано 3 лекции по различным предметам из 10 изучаемых на данном курсе. Какова вероятность того, что студент, не успевший ознакомиться с расписанием, его угадает, если любое расписание из 3 предметов равновозможно?
А 1.11. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется: а) по крайней мере одна кость с 5 очками; б) по крайней мере одна кость с 5 или 6 очками?
А 1.12. Из 10 первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из 5 букв. Определить вероятность следующих событий: а) в состав нового алфавита входит буква "а"; б) в состав нового алфавита входят только согласные буквы.
А 1.13. Среди кандидатов в студсовет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на конференцию. Найти вероятность следующих событий: а) будут выбраны одни третьекурсники; б) все первокурсники попадут на конференцию; в) не будет выбрано ни одного второкурсника.
А 1.14. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятность следующих событий: а) выбраны все карты трефовой масти; б) выбран хотя бы один король.
А 1.15. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – 1 час, а второго – 3 часа.
А 1.16. На отдельных карточках написаны 12 вариантов контрольной работы, которые распределяются случайным образом среди 10 студентов, сидящих в одном ряду. Найти вероятность следующих событий: а) варианты с номерами 4 и 5 останутся неиспользованными; б) варианты 5 и 10 достанутся рядом сидящим студентам; в) будут распределены последовательные номера вариантов.
А 1.17. Среди 10 студентов, случайным образом занимающих очередь за учебниками в библиотеку, находятся 2 подруги. Какова вероятность того, что в образовавшейся очереди между подругами окажется 4 человека?
А 1.18. Из общего количества костей домино наудачу извлекли 1 кость. Оказалось, что это не дубль. Какова вероятность того, что 2-ю извлеченную кость домино можно будет приставить к 1-й?
А 1.19. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если последовательно набрать 2 цифры из имеющихся 10. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал пробовать различные комбинации, затрачивая на каждую попытку 10 секунд. Какова вероятность того, что вошедшему удастся открыть дверь: а) за 10 минут; б) за 15 минут; в) за 1 час?
А 1.20. В телефонной книге случайно выбирается номер телефона, состоящий из 7 цифр. Найти вероятность того, что: а) четыре последние цифры телефонного номера одинаковы; б) все четыре последние цифры различны.
А 1.21. В ящике имеется 15 деталей, 9 из которых окрашены. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окрашены.
А 1.22. Группа из 8 юношей и 8 девушек делится случайно на 2 равные части. Найти вероятность того, что в каждой части юношей и девушек поровну.
А 1.23. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 8, а разность – 4.
А 1.24. На 5 карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из них одна за другой извлекаются. Найти вероятность того, что число на 2-й карточке будет больше, чем на 1-й.
А 1.25. Программа экзамена содержит 20 различных вопросов, из которых студент знает только 10. Для успешной сдачи экзамена достаточно ответить на 2 из 3 предложенных вопросов. Какова вероятность успешной сдачи экзамена?
А 1.26. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 вопросов билета. Взглянув на 1-й вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?
А 1.27. В лотерее 100 билетов. Из них 25 выигрышных. Определить вероятность того, что 2 приобретенных билета окажутся выигрышными.
А 1.28. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что появление любого числа на регистре случайно, определить вероятность следующих событий: а) во всех разрядах стоят нули; б) во всех разрядах стоят одни и те же цифры; в) регистр содержит только 2 одинаковые цифры; г) регистр содержит только 2 пары одинаковых цифр; д) регистр содержит 3 одинаковые цифры.
А 1.29. Из 7 яблок, 3 апельсинов и 5 лимонов случайным образом в пакет отбирают 5 фруктов. Найти вероятности следующих событий: а) в пакете только 1 апельсин; б) пакет не содержит апельсинов; в) пакет не содержит лимонов; г) пакет не содержит яблок.
А 1.30. Путем жеребьевки разыгрываются 6 подписных изданий среди 12 участников, каждый из которых не может получить более 1 подписки. Найти вероятность того, что из списка получат подписку: а) первые 6 человек; б) первые 3 человека; в) 1-й человек; г) 1-й и 3-й человек.
А 1.31. Подбрасывают наудачу 3 игральные кости. Вычислить вероятности следующих событий: а) на 3 костях выпадут разные грани; б) хотя бы на одной из костей выпадет шестерка.
А 1.32. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих карандашей. Наудачу вынимаются без возвращения 2 карандаша. Найти вероятность того, что окажется не вынутым: а) синий карандаш; б) зеленый карандаш; в) красный карандаш.
А 1.33. Студент знает 14 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит хотя бы на один из них.
А 1.34. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в круг, окажется внутри квадрата.
А 1.35. На шахматной доске случайным образом поставлены черная и белая ладьи. Какова вероятность того, что они не могут бить друг друга?
А 1.36. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
А 1.37.
На карточках отдельно написаны буквы: А
– на 3;
Е
– на 1-й; И
– на 1-й; К
– на 1-й; М
– на 2; Т
– на 2 карточках.
Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает их одну к другой. Найти вероятность того, что в результате получится слово «МАТЕМАТИКА
».
А 1.38. 10 солдат-новобранцев разного роста случайным образом становятся в строй. Какова вероятность того, что они расположатся в строю по росту?
А 1.39. Среди поступающих в ремонт часов 40% нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что из 5 взятых наугад часов все нуждаются в чистке механизма?
А 1.40. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для аудиторской проверки случайно выбраны 5 сбербанков. Какова вероятность того, что хотя бы 2 из них окажутся в черте города?
В 1.1. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три детали размера, больше обозначенного на чертеже. У сборщика пять деталей из оставшихся 12 большего размера. Найти вероятность: а) нормальной; б) ненормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.
В 1.2. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три детали, большие или все три детали, меньшие обозначенного на чертеже размера. У сборщика осталось 15 деталей, из которых 10 по размеру больше, а остальные - меньше требуемого. Найти вероятность ненормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.
В 1.3. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки - наличие брака в выборке не более 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята.
В 1.4. Слово «ИНТЕГРАЛ » состоит из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекают 4 карточки и выкладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность того, что при этом получится слово «ИГРА »?
В 1.5. А », «Г », «И », «Л », «М », «О », «Р », «Т », получится слово «АЛГОРИТМ »?
В 1.6. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы «О », «О », «О », «Л », «М », «Т », «К », получится слово «МОЛОТОК »?
В 1.7. Из пяти видов открыток наудачу выбираются 3 открытки. Какова вероятность того, что все три открытки будут разные?
В 1.8. На 5 одинаковых шарах написаны числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 – по одному на каждом. Шары положены в урну и перемешаны. Какова вероятность того, что, вынимая наудачу один за другим 3 шара, (без возврата) получим все 3 шара нечетного номера?
В 1.9. В группе учится 12 человек, из них 10 юношей и 2 девушки. На субботник отбирают 5 человек. Какова вероятность того, что в субботнике будут участвовать обе девушки?
«Урок Звуки и буквы» - Составление предложений по схемам. 3 урок. Состав числа 9. Примеры на + -1 по линейке в пределах 20. Об. гр.-гласные и согласные звуки. 2 урок. Круглые числа. Чтение стихов в книжках-малышках. 3 урок. Части слов – слоги. 2 урок. Составы чисел 1, 2, 3, 4. Соседи чисел 1 десятка. Согласный звук и буквы Т т. Звуки (д – т). 2 урок.
«Заглавная буква» - Выпиши отдельно фамилии писателей, полководцев, художников. Куда: город Калининград, улица Войнич Кому: ученицам 2-Б класса. Выпиши города Калининградской области. Расскажи по опорному конспекту об имени существительном. Географические названия. Правило о написании заглавной буквы в собственных именах существительных.
«Буква Е» - Уменье. Прямо из деревни К царю и царевне. Раздел: Преподавание в начальной школе. Вымолвил словечко, Покатилась печка. Терпенье, Строчная гласная буква е. Собери пословицу: Отгадайте загадку: «Одень человечка!». И за что не знаю, Повезло лентяю.
«Буквы» - С чего начнём работу? Буква, что сучок. 1. Оформление работы в тетради. Актуализация знаний. Кто достиг цели? Самостоятельная работа. Что не умеете? Подчеркнуть буквы, обозначающие мягкие согласные звуки. Проверка. 9-й этап. Как лучше запомнить? Сяду прямо, не согнусь – за работу, я возьмусь. Научить писать слова с сочетаниями чк- чн- чт. писать и различать заглавную бу- кву «У».
«Изучение букв» - Метод целых слов Возник в начале 20 в. в США и связан с особенностями английского языка. Дальше шли упражнения в чтении слов по складам с называнием букв каждого слога в отдельности. 3. Порядок изучения звуков и букв изменяется. В звуковом синтетическом методе от звука идут к слогу, от слогов - к словам, потом к предложениям.
«Звуки и буквы 1 класс» - Эскалатор. Выделение гласных из ряда звуков. Артикуляционные упражнения. Гласные звуки и буквы. Слоговые схемы.
Комбинаторика
изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики, используют при непосредственном вычислении вероятностей.
Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками
этих элементов. Число всевозможных перестановок из n
элементов обозначают через , и это число равно n
! (читается "эн-факториал"):
\(P_n=n\) (1.3.1)
где
. (1.3.2)
З а м е ч а н и е 1. Для пустого множества принимается соглашение: пустое множество можно упорядочить только одним способом; по определению полагают .
Размещениями
называют множества, составленные из n
различных элементов по m
элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой
. (1.3.3)
Сочетаниями из n различных элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначают: или . Это число выражается формулой
. (1.3.4)
З а м е ч а н и е 2. По определению полагают .
Для числа сочетаний справедливы равенства:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)
Последнее равенство иногда формулируется в виде следующей теоремы о конечных множествах:
Число всех подмножеств множества, состоящего их n
элементов, равно .
Отметим, что числа перестановок, размещений и сочетаний связаны равенством
З а м е ч а н и е 3. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае множества с повторениями вычисляют по другим формулам.
Например, если среди n
элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями определяется формулой
(1.3.7)
где .
Число размещений по m
элементов с повторениями из n
элементов равно
, то есть
с повт (1.3.8)
Число сочетаний с повторениями из n
элементов по m
элементов равно числу сочетаний без повторений из n
+ m
- 1 элементов по m
элементов, то есть
с повт . (1.3.9)
При решении задач комбинаторики используют следующие правила.
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.
Правило произведения . Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Классическая схема подсчета вероятностей пригодна для решения ряда сугубо практических задач. Рассмотрим, например, некоторое множество элементов объема N. Это могут быть изделия, каждое из которых является годным или бракованным, или семена, каждое из которых может быть всхожим или нет. Подобного рода ситуации описываются урновой схемой: в урне имеется N шаров, из них М голубых, (N - M) красных.
Из урны, содержащей N шаров, в которой находится М голубых шаров, извлекается n шаров. Требуется определить вероятность того, что в выборке объема n будет обнаружено m голубых шаров. Обозначим через А событие "в выборке объема n имеется m голубых шаров", тогда
(1.3.10)
Пример 1. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?
Решение.
Воспользуемся формулой (1.3.3). При n = 10, m = 3 получаем
.
Пример 2. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 5 человек?
Решение.
Согласно формуле (1.3.1) при n=5 находим
P 5 =5!=1·2·3·4·5=120.
Пример 3. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?
Решение.
В соответствии с формулой (1.3.4) находим
Пример 4. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2?
Решение.
Здесь нужно найти число перестановок с повторениями, которое определяется формулой (1.3.7). При k =2, n 1 = 3, n 2 = 3, n=6 по этой формуле получаем
Пример 5. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: замок, ротор, топор, колокол?
Решение. В слове замок все буквы различны, всего их пять. В соответствии с формулой (1.3.1) получаем P 5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120. В слове ротор , состоящем из пяти букв, буквы p и o повторяются дважды. Для подсчета различных перестановок применяем формулу (1.3.7). При n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2 по этой формуле находим
В слове топор буква о
повторяется дважды, поэтому
В слове колокол, состоящем из семи букв, буква к
встречается дважды, буква о
- трижды, буква л
- дважды. В соответствии с формулой (13.7) при n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n з = 2 получаем
Пример 6. На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МИНСК?
Решение.
Из пяти различных элементов можно составить Р5 перестановок:
. Значит, всего равно возможных исходов будет 120, а благоприятствующих данному событию - только один. Следовательно,
Пример 7. Из букв слова ротор , составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово тор ?
Решение.
Чтобы отличить одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: p
1 , p
2 , 0
1 , 0
2 . Общее число элементарных исходов равно: 
. Слово ротор
получится в случаях (то 1 р 1 , то 1 р 2 , то 2 р 1 , то 2 р 2
). Искомая вероятность равна
При подсчете числа благоприятных случаев здесь воспользовались правилом произведения: букву m можно выбрать одним способом, букву о - двумя, букву р - двумя способами.
Пример 8. На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова талант - по одной букве на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны. их вынимают наудачу и располагают на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово талант ?
Решение. Занумеруем карточки с буквами:
Слово т а л а н т (513246) не изменится, если буквы а переставить местами, но по расположению карточек получится иная комбинация: т а л а н т (523146). Если в каждой из этих двух комбинаций то же проделать с буквой т, то получим еще 2 различные комбинации карточек со словом талант. Значит, появлению слова талант благоприятствуют 4 элементарных исхода. Общее число равно возможных элементарных исходов равна числу перестановок из 6 элементов: n = 6! = 720. Следовательно, искомая вероятность
.
З а м е ч а н и е. Эту вероятность можно найти и с помощью формулы (1.3.7), которая при n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n з = 2, n 4 = 2 принимает вид:
. Таким образом, Р = 1/180.
Пример 9.
На пяти одинаковых карточках написаны буквы: на двух карточках л
, на остальных трех и
. Выкладывают наудачу эти карточки в
ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии
?
Решение.
Найдем число перестановок из этих пяти букв с повторениями.
По формуле (1.3.7) при n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 получаем
Это общее число равновозможных исходов опыта, данному событию А - "появление слова лилии" благоприятствует один. В соответствиис формулой (1.2.1) получаем
Пример 10.
В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность
того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Решение. Общее число возможныIx элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, то есть числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов ().
Определяем число исходов, благоприятствующих событию А - "среди 6 взятых деталей 4 стандартных". Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять способами, при этом остальные 6 - 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 - 7 = 3 нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно .
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
З а м е ч а н и е. Последняя формула является частным случаем формулы (1.3.10): N= 10, М= 7, n = 6, m = 4.
Пример 11. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.
Решение. Число всех равновозможных случаев распределения 5 билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, то есть . Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно . Каждая такая тройка может сочетаться с любой парой из десяти девушек, а число таких пар равно .Следовательно, число групп по 5 студентов, образованных из группы в 25 студентов, в каждую из которых будут входить трое юношей и две девушки, равно произведению . Это произведение равно числу благоприятствующих случаев распределения пяти билетов среди студентов группы так, чтобы три билета получили юноши и два билета - девушки. В соответствии с формулой (1.2.1) находим искомую вероятность
З а м е ч а н и е. Последняя формула является частным случаем формулы (1.3.10): N= 25, М= 15,n = 5, m = 3.
Пример 12 . В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 голубых и 3 красных шара (событие А)?
Решение.
В ящике всего 30 шаров. При данном испьпании число всех равновозможных элементарных исходов будет . Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Три красных шара из 15 можно выбрать способами, два голубых шара из 9 можно выбрать споcобами, один зеленый из 6 -
Число благоприятных исходов равно произведению
Искомая вероятность определяется формулой (1.3.10):
Пример 14. Игральный кубик подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпадут соответственно 2, 3, 1, 1, 1, 2 раза (событие А)?
Решение.
Число исходов, благоприятных для события А, подсчитаем по формуле (1.3.7):
Число всех элементарных исходов в данном опыте n = 6 10 , поэтому
Задачи
1. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Б, Е, Р, С, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово БРЕСТ?
2. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 2 шара. Найдите вероятность того, что эти шары разного цвета.
3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
4. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 5 голубых.Наудачу извлечены 3 шара. Найдите вероятность того, что все 3 шара разного цвета.
5. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что извлекая карточки по одной наугад, получим в порядке их выхода слово молот?
6. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия. Найдите вероятность того, что в полученной выборке одно изделие бракованное.
7. Из десяти билетов выигрышными являются два. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?
Ответы
1.
1/120. 2.
5/9. 3.
18/35. 4
. 0,25. 5
. 1/60. 6
. 21/40. 7
. 5/9.
Вопросы
1. Что назьrвают перестановками?
2. По какой форме вычисляют число перестановок из n различных элементов?
3. Что называют размещениями?
4. По какой формуле вычисляют число размещений из n различных элементов по m элементов?
5. Что называют сочетаниями?
6. По какой формуле вы исляют число сочетаний из n элементов по m элементов?
7. Каким равенством связаны числа перестановок, размещений и сочетаний?
8. По какой формуле вычисляется число перестановок из n элементов, если некоторые элементы повторяются?
9. Какой формулой определяется число размещений по m элементов с повторениями из n элементов?
10. Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов?
