Пакет MS Excel позволяет при построении уравнения линейной регрессии большую часть работы сделать очень быстро. Важно понять, как интерпретировать полученные результаты. Для построения модели регрессии необходимо выбрать пункт Сервис\Анализ данных\Регрессия (в Excel 2007 этот режим находится в блоке Данные/Анализ данных/Регрессия). Затем полученные результаты скопировать в блок для анализа.
КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ В MS EXCEL
1. Создайте файл исходных данных в MS Excel (например, таблица 2)
2. Построение корреляционного поля
Для построения корреляционного поля в командной строке выбираем меню Вставка/ Диаграмма . В появившемся диалоговом окне выберите тип диаграммы: Точечная ; вид: Точечная диаграмма , позволяющая сравнить пары значений (Рис. 22).
Рисунок 22 – Выбор типа диаграммы
Рисунок 23– Вид окна при выборе диапазона и рядов
Рисунок 25 – Вид окна, шаг 4
2. В контекстном меню выбираем команду Добавить линию тренда.
3. В появившемся диалоговом окне выбираем тип графика (в нашем примере линейная) и параметры уравнения, как показано на рисунке 26.
Нажимаем ОК. Результат представлен на рисунке 27.
Рисунок 27 – Корреляционное поле зависимости производительности труда от фондовооруженности
Аналогично строим корреляционное поле зависимости производительности труда от коэффициента сменности оборудования. (рисунок 28).
 |
Рисунок 28 – Корреляционное поле зависимости производительности труда
от коэффициента сменности оборудования
3. Построение корреляционной матрицы.
Для построения корреляционной матрицы в меню Сервис выбираем Анализ данных.
С помощью инструмента анализа данных Регрессия , помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Для этого необходимо проверить доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис/ Надстройки . Установите флажок Пакет анализа (Рисунок 29)
Рисунок 30 – Диалоговое окно Анализ данных
После нажатия ОК в появившемся диалоговом окне указываем входной интервал (в нашем примере А2:D26), группирование (в нашем случае по столбцам) и параметры вывода, как показано на рисунке 31.
 |
Рисунок 31 – Диалоговое окно Корреляция
Результат расчетов представлен в таблице 4.
Таблица 4 – Корреляционная матрица
Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 |
|
Столбец 1 | |||
Столбец 2 | |||
Столбец 3 |
ОДНОФАКТОРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ИНСТРУМЕНТА РЕГРЕССИИ
Для проведения регрессионного анализа зависимости производительности труда от фондовооруженности в меню Сервис выбираем Анализ данных и указываем инструмент анализа Регрессия (Рисунок 32).
Рисунок 33 – Диалоговое окно Регрессия
Тема: КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ В EXCEL
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ В ПРОГРАММЕ EXCEL
Корреляционная связь - это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений.
Парная корреляция - это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой - результативным.
Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.
Необходимые условия применения корреляционного анализа:
1. Наличие достаточно большого количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей.
2. Исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение в тех или иных источниках информации.
Применение корреляционного анализа позволяет решить следующие задачи:
1.Определить изменение результативного показателя под воздействием одного или нескольких факторов.
2. Установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора.
Задание 1.
Имеются данные по 20 сельскохозяйственным хозяйствам. Найти коэффициент корреляции между величинами урожайности зерновых культур и качеством земли и оценить его значимость. Данные приведены в таблице.
Таблица. Зависимость урожайности зерновых культур от качества земли
|
Номер хозяйства |
Качество земли, балл х |
Урожайность, ц/га у |
Для нахождения коэффициента корреляции использовать функцию КОРРЕЛ .
Значимость коэффициента корреляции проверяется по критерию Стьюдента .
Для рассматриваемого примера r=0,99, n=18.
Для нахождения квантиля распределения Стьюдента используется функция СТЬЮДРАСПОБР со следующими аргументам: Вероятность –0,05, Степени свободы –18.
Сравнив значение t-статистики с квантилем распределения Стьюдента сделать выводы о значимости коэффициента парной корреляции. Если расчетное значение t-статистики больше квантиля распределения Стьюдента, то величина коэффициента корреляции является значимой.
ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ СВЯЗИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕЛИЧИНАМИ
Задание 2 .
По данным задания 1:
1) построить уравнение регрессии (линейную модель), которое характеризует прямолинейную зависимость между качеством земли и урожайностью;
2). выполнить проверку адекватности полученной модели.
1 - ый способ.
1. На листе Excel выделить массив свободных ячеек из пяти строк и двух столбцов.
2. Вызвать функцию ЛИНЕЙН .
3.Указать для функции следующие аргументы: Изв_знач_ y Урожайность, ц/га; Изв_знач_ x - столбец значений показателя Качество земли, балл ; Константа –1, Стат– 1 (позволяет вычислить показатели, используемые для проверки адекватности модели. Если Стат– 0, то такие показатели вычисляться не будут.
4. Нажать комбинацию клавиш Ctrl - Shift - Enter .
В выделенные ячейки выводятся коэффициенты модели, а также показатели, позволяющие проверить модель на адекватность (таблица 2).
|
Таблица 2 |
|
|
a 1 |
a 0 |
|
S e1 |
S e0 |
|
R 2 |
S e |
|
Q R |
Q e |
a 1 , a 0 – коэффициенты модели;
S e 1 S e 0 – стандартные ошибки коэффициентов. Чем точнее модель, тем меньше эти величины.
R 2 – коэффициент детерминации. Чем он больше, тем точнее модель.
F – статистика для проверки значимости модели.
n - k -1 – число степеней свободы (n-объем выборки, k- количество входных переменных; в данном примере n=20, к=1)
Q R – сумма квадратов, обусловленная регрессией;
Q e – сумма квадратов ошибок.
5. Для проверки адекватности модели найти квантиль распределения Фишера F f . с помощью функции F РАСПОБР . Для этого в любой свободной ячейке ввести функцию F РАСПОБР со следующими аргументами: Вероятность – 0,05, Степени_свободы _1–1, Степени_свободы _2–18. Если F> F f , то модель адекватна исходным данным
6. Проверить адекватность построенной модели, используя расчетный уровень значимости (P). Ввести функцию F РАСП со следующими аргументами: X – значение статистики F , Степени_свободы_1 –1, Степени_свободы_2 – 18. Если расчетный уровень значимости P<α =0,05, то модель адекватна исходным данным.
2 –й способ.
Определение коэффициентов модели с получением показателей для проверки ее адекватности и значимости коэффициентов.
Выбрать команду Сервис/Анализ данных/Регрессия . В диалоговом окне установить: Входной интервал Y – значения показателя Урожайность, ц/га, Входной интервал X – значения показателя Качество земли, балл .
Установить флажок Метки . В области Параметры вывода выбрать переключатель Выходной интервал и указать ячейку, с которой будет начинаться вывод результатов. Для получения результатов нажать кнопку ОК.
Интерпретация результатов.
Искомые коэффициенты модели находятся в столбце Коэффициенты :
Для данного примера уравнение модели имеет вид:
Y=2,53+0,5X
В данном примере с увеличением качества почвы на один балл, урожайность зерновых культур повышается в среднем на 0,5 ц/га.
Проверка адекватности модели выполняется по расчетному уровню значимости P, указанному в столбце Значимость F . Если расчетный уровень значимости меньше заданного уровня значимости α =0,05, то модель адекватна.
Проверка статистической значимости коэффициентов модели выполняется по расчетным уровням значимости P, указанным в столбце P -значение . Если расчетный уровень значимости меньше заданного уровня значимости α =0,05, то соответствующий коэффициент модели статистически значим.
Множественный R – коэффициент корреляции . Чем ближе его величина к 1, тем более тесная связь между изучаемыми показателями. Для данного примера R= 0,99. Это позволяет сделать вывод, что качество земли – один из основных факторов, от которого зависит урожайность зерновых культур.
R -квадрат – коэффициент детерминации . Он получается возведением в квадрат коэффициента корреляции – R 2 =0,98. Он показывает, что урожайность зерновых культур на 98% зависит от качества почвы, а на долю других факторов приходится 0,02%.
3-ий способ . ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ.
Самостоятельно построить точечную диаграмму, отражающую связь между урожайностью и качеством земли.
Получить линейную модель зависимости урожайности зерновых культур от качества земли.
В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных.
Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы - руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?
Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель - разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию - статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X . В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, X k ).
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Виды регрессионных моделей
где ρ 1 – коэффициент автокорреляции; если ρ 1 = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ 1 ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ 1 = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.
На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D < d L , гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); если D > d U , гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d L < D < d U , нет достаточных оснований для принятия решения. Когда расчётное значение D превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент D , а выражение (4 – D ).
Для вычисления статистики Дурбина-Уотсона в Excel обратимся к нижней таблице на рис. 14 Вывод остатка . Числитель в выражении (10) вычисляется с помощью функции =СУММКВРАЗН(массив1;массив2), а знаменатель =СУММКВ(массив) (рис. 16).
Рис. 16. Формулы расчета статистики Дурбина-Уотсона
В нашем примере D = 0,883. Основной вопрос заключается в следующем - какое значение статистики Дурбина-Уотсона следует считать достаточно малым, чтобы сделать вывод о существовании положительной автокорреляции? Необходимо соотнести значение D с критическими значениями (d L и d U ), зависящими от числа наблюдений n и уровня значимости α (рис. 17).
Рис. 17. Критические значения статистики Дурбина-Уотсона (фрагмент таблицы)
Таким образом, в задаче об объеме продаж в магазине, доставляющем товары на дом, существуют одна независимая переменная (k = 1), 15 наблюдений (n = 15) и уровень значимости α = 0,05. Следовательно, d L = 1,08 и d U = 1,36. Поскольку D = 0,883 < d L = 1,08, между остатками существует положительная автокорреляция, метод наименьших квадратов применять нельзя.
Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции
Выше регрессия применялась исключительно для прогнозирования. Для определения коэффициентов регрессии и предсказания значения переменной Y при заданной величине переменной X использовался метод наименьших квадратов. Кроме того, мы рассмотрели среднеквадратичную ошибку оценки и коэффициент смешанной корреляции. Если анализ остатков подтверждает, что условия применимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.
Применение t -критерия для наклона. Проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности β 1 нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y . Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существует линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = 0 (нет линейной зависимости), Н1: β 1 ≠ 0 (есть линейная зависимость). По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипотетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквадратичную ошибку оценки наклона:
(11) t = (b 1 – β 1 ) / S b 1
где b
1
– наклон прямой регрессии по выборочным данным, β1 – гипотетический наклон прямой генеральной совокупности, 
, а тестовая статистика t
имеет t
-распределение с n – 2
степенями свободы.
Проверим, существует ли статистически значимая зависимость между размером магазина и годовым объемом продаж при α = 0,05. t -критерий выводится наряду с другими параметрами при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к t-статистике – на рис. 18.
Рис. 18. Результаты применения t
Поскольку число магазинов n = 14 (см. рис.3), критическое значение t -статистики при уровне значимости α = 0,05 можно найти по формуле: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;12) = –2,1788, где 0,025 – половина уровня значимости, а 12 = n – 2; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = +2,1788.
Поскольку t -статистика = 10,64 > t U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. С другой стороны, р -значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н 0 снова отклоняется. Тот факт, что р -значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.
Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы
Применение F -критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F -критерия. Напомним, что F -критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F -критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR , деленной на количество независимых переменных k ), к дисперсии ошибок (MSE = S Y X 2 ).
По определению F -статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR / MSE , где MSR = SSR / k , MSE = SSE /(n – k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.
При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F U , нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.
Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии
Аналогично t -критерию F -критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F -статистике – на рис. 21.
Рис. 21. Результаты применения F -критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel
F-статистика равна 113,23, а р -значение близко к нулю (ячейка Значимость F ). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F -распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F U = 4,7472, причем р -значение близко к 0 < 0,05, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, т.е. размер магазина тесно связан с его годовым объемом продаж.
Рис. 22. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 12 степенями свободы
Доверительный интервал, содержащий наклон β 1 . Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменными можно построить доверительный интервал, содержащий наклон β 1 и убедиться, что гипотетическое значение β 1 = 0 принадлежит этому интервалу. Центром доверительного интервала, содержащего наклон β 1 , является выборочный наклон b 1 , а его границами - величины b 1 ± t n –2 S b 1
Как показано на рис. 18, b 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. t 12 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = 2,1788. Следовательно, b 1 ± t n –2 S b 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, или + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Таким образом, наклон генеральной совокупности с вероятностью 0,95 лежит в интервале от +1,328 до +2,012 (т.е. от 1 328 000 до 2 012 000 долл.). Поскольку эти величины больше нуля, между годовым объемом продаж и площадью магазина существует статистически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости. Кроме того, доверительный интервал означает, что каждое увеличение площади магазина на 1 000 кв. футов приводит к увеличению среднего объема продаж на величину от 1 328 000 до 2 012 000 долларов.
Использование t -критерия для коэффициента корреляции. был введен коэффициент корреляции r , представляющий собой меру зависимости между двумя числовыми переменными. С его помощью можно установить, существует ли между двумя переменными статистически значимая связь. Обозначим коэффициент корреляции между генеральными совокупностями обеих переменных символом ρ. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : ρ = 0 (нет корреляции), Н 1 : ρ ≠ 0 (есть корреляция). Проверка существования корреляции:
где r = + , если b 1 > 0, r = – , если b 1 < 0. Тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.
В задаче о сети магазинов Sunflowers r 2 = 0,904, а b 1 - +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b 1 > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t -статистику:
При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.
При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.
Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений
В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X .
Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов ) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y X . В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X :
где 
, =
b
0
+
b
1
X i
– предсказанное значение переменное Y
при X
= X i
, S YX
– среднеквадратичная ошибка, n
– объем выборки, X
i
- заданное значение переменной X
, µ
Y
| X
=
X
i
– математическое ожидание переменной Y
при Х
= Х i
, SSX = 
Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X i . Если значение переменной Y предсказывается для величин X , близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.
Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:
Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.
Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X , часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y X = Xi при конкретном значении переменной X i определяется по формуле:
Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:
Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.
Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии
Трудности, связанные с регрессионным анализом:
- Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
- Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
- Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
- Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
- Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
- Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.
Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?
Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел - вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).
Рис. 23. Четыре набора искусственных данных
Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)
Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.
Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных
Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, - набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х 8 = 19, Y 8 = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.
Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных
Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:
- Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
- Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
- Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
- Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
- Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
- Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
- Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
- Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.
Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t -критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.
Рис. 27. Структурная схема заметки
Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872
Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.
В Excel имеется еще более быстрый и удобный способ построить график линейной регрессии (и даже основных видов нелинейных регрессий, о чем см. далее). Это можно сделать следующим образом:
1) выделить столбцы с данными X и Y (они должны располагаться именно в таком порядке!);
2) вызвать Мастер диаграмм и выбрать в группе Тип – Точечная и сразу нажать Готово ;
3) не сбрасывая выделения с диаграммы, выбрать появившейся пункт основного меню Диаграмма , в котором следует выбрать пункт Добавить линию тренда ;
4) в появившемся диалоговом окне Линия тренда во вкладке Тип выбрать Линейная ;
5) во вкладке Параметры можно активизировать переключатель Показывать уравнение на диаграмме , что позволит увидеть уравнение линейной регрессии (4.4), в котором будут вычислены коэффициенты (4.5).
6) В этой же вкладке можно активизировать переключатель Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2) . Эта величина есть квадрат коэффициента корреляции (4.3) и она показывает, насколько хорошо рассчитанное уравнение описывает экспериментальную зависимость. Если R 2 близок к единице, то теоретическое уравнение регрессии хорошо описывает экспериментальную зависимость (теория хорошо согласуется с экспериментом), а если R 2 близок к нулю, то данное уравнение не пригодно для описания экспериментальной зависимости (теория не согласуется с экспериментом).
В результате выполнения описанных действий получится диаграмма с графиком регрессии и ее уравнением.
§4.3. Основные виды нелинейной регрессии
Параболическая и полиномиальная регрессии.
Параболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная квадратичной функцией (параболой 2-ого порядка):
Это уравнение называется уравнением параболической регрессии Y на Х . Параметры а , b , с называются коэффициентами параболической регрессии . Вычисление коэффициентов параболической регрессии всегда громоздко, поэтому для расчетов рекомендуется использовать компьютер.
Уравнение (4.8) параболической регрессии является частным случаем более общей регрессии, называемой полиномиальной. Полиномиальной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная полиномом n -ого порядка:
где числа а i (i =0,1,…, n ) называются коэффициентами полиномиальной регрессии .
Степенная регрессия.
Степенной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:
Это уравнение называется уравнением степенной регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами степенной регрессии .
ln =lna +b· lnx . (4.11)
Это уравнение описывает прямую на плоскости с логарифмическими координатными осями lnx и ln . Поэтому критерием применимости степенной регрессии служит требование того, чтобы точки логарифмов эмпирических данных lnx i и lnу i находились ближе всего к прямой (4.11).
Показательная регрессия.
Показательной (или экспоненциальной ) зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:
(или ). (4.12)
Это уравнение называется уравнением показательной (или экспоненциальной ) регрессии Y на Х . Параметры а (или k ) и b называются коэффициентами показательной (или экспоненциальной ) регрессии .
Если прологарифмировать обе части уравнения степенной регрессии, то получится уравнение
ln =x· lna +lnb (или ln =k·x +lnb ). (4.13)
Это уравнение описывает линейную зависимость логарифма одной величины ln от другой величины x . Поэтому критерием применимости степенной регрессии служит требование того, чтобы точки эмпирических данных одной величины x i и логарифмы другой величины lnу i находились ближе всего к прямой (4.13).
Логарифмическая регрессия.
Логарифмической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:
=a +b· lnx . (4.14)
Это уравнение называется уравнением логарифмической регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами логарифмической регрессии .
Гиперболическая регрессия.
Гиперболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:
Это уравнение называется уравнением гиперболической регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами гиперболической регрессии и определяются методом наименьших квадратов. Применение этого метода приводит к формулам:
В формулах (4.16-4.17) суммирование проводится по индексу i от единицы до количества наблюдений n .
К сожалению, в Excel нет функции, вычисляющих коэффициенты гиперболической регрессии. В тех случаях, когда заведомо не известно, что измеряемые величины связаны обратной пропорциональностью, рекомендуется вместо уравнения гиперболической регрессии искать уравнение степенной регрессии, так в Excel имеется процедура ее нахождения. Если же между измеряемыми величинами предполагается гиперболическая зависимость, то коэффициенты ее регрессии придется вычислять с помощью вспомогательных расчетных таблиц и операций суммирования по формулам (4.16-4.17).
