Выполнение арифметических действий в любых позиционных системах счисления производится по тем же правилам, которые используются в десятичной системе счисления.
Так же, как и в десятичной системе счисления, для выполнения арифметических действий необходимо знать таблицы сложения (вычитания) и умножения.
Таблица сложения, вычитания и умножения для двоичной системы счисления
Сложение двоичных чисел
Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик с выравниванием по разделителю целой и дробной части и при необходимости дополняются справа незначащими нулями. Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.
Пример
: 1011,1 2 + 1010,11 2
Интересна также ситуация, когда складываются больше двух чисел. В этом случае возможен перенос через несколько разрядов.
Пример
: 111,1 2 + 111 2 + 101,1 2
При сложении в разряде единиц (разряд 0) оказывается 4 единицы, которые, объединившись, дают 100 2
. Поэтому из нулевого разряда в первый разряд переносится 0
, а во второй — 1
.
Аналогичная ситуация возникает во втором разряде, где с учетом двух перенесенных единиц получается число 5 = 101 2
. 1
остается во втором разряде, 0
переносится в третий и 1
переносится в четвёртый.
Вычитание двоичных чисел
В случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.
Пример
: 10110,01 2 — 1001,1 2
- познакомить учащихся с двоичной системой счисления, указать ее недостатки и преимущества использования в вычислительной технике;
- развивать логическое мышление; формировать навыки выполнения арифметических действий с двоичными числами;
- прививать интерес к предмету.
Программно-дидактическое обеспечение: ПК, программа Калькулятор.
Ход урока
I. Организационный момент
Приветствие, проверка отсутствующих.
1. Постановка целей урока
– Сколько будет:
1000110 2 + 1010101 2 ;
100011110111 2 /101101 2;1110001110 2 – 11010 2 ;
101101 2 * 100011 2
После предложенных ответов учащихся, комментирую и объясняю, что сегодня на уроке мы научимся правильно выполнять арифметические действия в двоичной системе счисления.
2. Человек не ведет счет в двоичной системе, т.к. она для него не удобна. А кто или что использует ее для счета и почему?
II. Изложение нового материала
Двоичная система счисления
Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления.
– Чему равно основание двоичной системы счисления? (q = 2)
– Какой вид имеет развёрнутая форма записи двоичного числа? (А 2 =а n-1 *2 n-1 + …a 0*2 0 + a -1 *2 -1 +…a -m *2 -m , где а i равно 1 или 0.)
Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих учёных. П.С.Лаплас писал о своём отношении к двоичной (бинарной) системе счисления великого математика Г.Ф.Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает всё из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа ». Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита состоящего всего из двух символов.
Двоичная арифметика.
Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами.
Все позиционные системы «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:
- справедливы одни и те же законы арифметики: коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный;
- справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
- правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
Сложение.
Таблица сложения двоичных чисел проста.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11
При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.
Вычитание.
0 – 0 = 0
0 – 1 = 11
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведённой таблицей вычитания с учетом возможных заёмов из старших разрядов.
Умножение.
Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
При делении столбиком приходится в качестве промежуточных результатов выполнять действия умножения и вычитания.
III. Закрепление изученного
Решите задачи.
Выполните сложение:
1001001 + 10101 (ответ 1011110);
101101 + 1101101 (ответ 10011010)
11000,11 + 11010,11 (ответ 110011,1)
Выполните вычитание:
10001000 – 1110011 (ответ 10101)
1101100 – 10110110 (ответ – 1001010)
110101,101 – 1001,111 (101011,11)
Выполните умножение:
100001*111,11 (ответ : 11111111,11)
10011*1111,01 (ответ : 100100001,11)
Выполните деление:
1000000 / 1110 (ответ :100)
11101001000/111100 (ответ : 11111)
IV. Итоги урока
Оценивание работу учащихся, назвать отличившихся на уроке.
V. Домашнее задание
Выучить правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления, а так же таблицы сложения, вычитания и умножения в двоичной системе счисления.
Выполните действия:
- 110010 + 111,01;
- 11110000111 – 110110001;
- 10101,101 * 111;
- 10101110/101.
Составьте таблицы сложения и умножения в троичной и пятеричной системе счисления.
Арифметические операции над двоичными числами осуществляются с помощью алгоритма под названием «сложение в столбик». Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения (табл. 1.31).
Таблица 1.31. Арифметические операции над двоичными числами
Пр и мер 1.60. Произвести сложение чисел 55,25 и 19,5 в десятичной и в двоичной системах счисления.
Первое слагаемое 55 , 25 1 1 0 1 1 1,0 1
Второе слагаемое 19 , 50 1 0 0 1 1,1 0
Образующийся дополнительный бит называется битом переноса.
Пр и мер 1.61. Произвести сложение чисел 65 и 42 в двоичной системе счисления.
- 65 10 = 01000001 2 .
- 42 10 = 00101010 2 .
Выполним сложение этих чисел:
01000001 Первое слагаемое
00101010 Второе слагаемое 01101011 Результат
Можно убедиться, что (01101011) 2 = (107) 10:
0 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 -2 3 + 0-2 2 + 1 -2" + 1 -2° = = 64 + 32 + 8 + 2+ 1 = 107.
Пр и мер 1.62. Выполнить сложение двоичных чисел X и У. а) Х= 1101; У= 101.
|
Х+ У = |
Результат. 1101 + 101 = 10010. б)Х= 1101; У= 101; 7= 111.
х+у+г= 110 0 1
Примечание. Вычитание чисел в двоичной системе счисления выполняется так же, как и в десятичной. При необходимости занимается единица из следующего старшего разряда, причем занимаемая единица равна двум единицам данного разряда. Заем единицы производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого количественно больше цифры в том же разряде уменьшаемого. Для выполнения операции вычитания она заменяется сложением, а в качестве второго слагаемого берется инвертированное (противоположное) число. Например, пусть нужно выполнить вычитание: 65 - 42. Заменим его сложением: 65 + (-42).
И так, мы уже знаем, что такое двоичная система исчисления. Двоичная система - это такая же полноценная система исчисления, как и хорошо всем нам знакомая десятичная. В двоичной системе, как и в любой другой системе исчисления возможны все арифметические операции, к которым мы привыкли в десятичной системе. То есть сложение, вычитание, умножение, деление. Рассмотрим, каждую из арифметических операций на конкретных примерах.
Сложение
Допустим нам нужно найти сумму двух двоичных чисел: 10011001110 + 11000101110. Как это сделать. Правила сложения двоичных чисел такие же, как и для десятичных. С той только разницей, что каждый разряд суммы может принимать только два значения - ноль или единица. Точно так же, как и в десятичной системе, для сложения чисел их удобно записать в столбик:
| + | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
Сложение чисел нужно производить поразрядно, начиная с младшего разряда. При этом применяется следующее правило: Ноль плюс ноль получится, естественно ноль. Один плюс ноль и ноль плюс один дадут в результате один. При сложении двух единиц мы получим ноль в текущем разряде и единицу переноса в старший разряд. При сложении трех единиц (с учетом единицы переноса с предыдущего разряда) получим единицу в текущем разряде и единицу переноса. Эти правила объеденены в так называемой таблице сложения:
Пользуясь таблицей сложения проверте приведенный выше пример сложения. Попробуйте сами сложить какие нибудь числа.
Умножение
Умножение двоичных чисел, также схоже на умножение десятичных. Сейчас мы так же покажем этот процесс на примере. Вспомните, как вы умножаете два десятичных числа столбиком. Вот пример умножения двоичных чисел столбиком:
| X | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 1 | |||||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||||
| + | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
Точно так же, как и при умножении двоичных чисел, мы умножаем первое число на каждый разряд второго и записываем полученные результаты под первой чертой, одно под другим со здвигом. Затем полученные промежуточные результаты мы складываем с учетом сдвига. Однако в случае с двоичными числами имеется одно существенное отличие. Так как любой разряд двоичного числа либо ноль, либо единица, то промежуточное умножение сильно облегчается. В самом деле, любое число, умноженное на единицу, равно самому себе. Любое число, умноженное на ноль, равно нулю! Поэтому тут и вычислять то ничего не нужно. Именно по этому умножение двух двоичных чисел сводится к операциям сдвига и сложения. Это очень важно для построения вычислительных машин. Теперь ясно, что нам не нужны какие нибудь там "умножители". Для реализации операций сложения и умножения нам нужны только сумматоры и сдвиговые регистры. С их устройством вы можете познакомиться на нашем сайте.
Вычитание
Для того, что бы упростить операцию вычитания, был придуман так называемый “дополнительный код”. Можно сказать, что при помощи этого кода записываются отрицательные числа. Для того, что бы записать двоичное число в дополнительном коде, необходимо проинвертировать все его разряды а затем прибавить единицу. Инвертировать разряд двоичного числа - это, значит, заменить его содержимое на противоположное. (Ноль на единицу, а единицу на ноль). Ниже в таблице приведены примеры перевода различных чисел в дополнительный код. В каждой строке таблицы вы видите одно и то же число записаное сначала в десятичной системе исчисления, затем в двоичной системе в прямом коде, затем инвертированный прямой код, а затем в дополнительном коде.
Правила перевода числа из десятичного представления в двоичное читайте в разделе «Системы исчисления».
Правило вычитаия двух двоичных чисел гласит:
для того, что бы вычесть одно число из второго, необходимо:
- Перевести вычитаемое в дополнительный код.
- Сложить эти два числа (уменьшаемое и вычитаемое в дополнительном коде).
- При сложении перенос из самого старшего разряда не учитывать.
- Полученный результат и есть разность.
Поясним это на примере. Допустим, нам нужно найти разность между числами 13 и 5, в двоичной системе исчисления. Переведем сначала искомые числа в двоичную систему:
Число 13 берем в прямом двоичном коде (00001101).
Число 5 переводим в дополнительный двоичный код 5 (11111011).
Теперь производим сложение:
| + | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
Перенос из самого старшего, используемого нами разряда мы отбрасываем. В результате получаем 1000.
Для проверки переведем полученный результат в десятичный вид. 1000 в двоичной системе это 8 в десятичной. Советую внимательно проверить приведенный пример в соответствии с таблицей сложения (см выше).
Умножение и деление на 2
Умножение на 2 (на 10 в двоичном коде) это частный случай умножения. Но его следует рассмотреть отдельно. Дело в том, что так же как при умножении на 10 в десятичной системе нужно просто прибавить один нолик вконце числа, так и при умножении на два в двоичной системе для получения результата нужно множимое сдвинуть на один разряд влево и добавить один ноль в младший разряд.| Двоичное | Десятичное |
Аналогично происходит делениена 2. Только наоборот. Для того, что бы разделить двоичне числа на 2 (двоичное 10) нужно просто отбросить ноль в младшем разряде числа и все остальные разряды сдвинуть на один разряд вправо. Если в младшем разряде искомого числа не ноль, а единица, то это значит, что число не делится на два нацело. В этом случае возможно деление с остатком.
Примечание: Вы можете сами потренироваться в умножении на два с другими числами. О переводе из десятичного представления числа в двоичное смотри здесь.
Деление на произвольное число
Вспомним как мы делим одно число на другое в десятичной системе исчисления. Я имеется в виду деление столбиком или углом. Точно так же происходит деление в двоичной системе. Вот пример деления двух двоичных чисел:
Сначала мы записываем делимое. В данном случае это число 1000001 (в десятичном виде 65). Затем, справа от него, рисуем угол. В верхней части угла записываем делитель. В нашем случае – это 101 (десятичное 5). Затем мы начинаем находить частное по разрядно. В десятичной системе исчисления в данном случае мы подбираем, на какое число от 1 до 9 нужно умножить делитель, для того, что бы результат был бы все же меньше, чем три первые разряда делимого. Если такого числа не находится, то берут первые четыре разряда делимого. В двоичной системе исчисления любой разряд может принимать только два значения – ноль или единица. Поэтому выбор у нас гораздо меньший. Делитель можно умножать только на 1 либо на ноль. При этом в первом случае он останется неизменным, а во втором он будет равен нулю. Нам придется лишь проверять не больше ли делитель, чем число, составляющее первые три разряда делимого. Как видим первые три разряда составляют число 100, что меньше, чем 101. Поэтому берем первые четыре разряда делимого. Число, составляющее первые четыре разряда делимого (1000) естественно больше делителя. Поэтому мы записываем делитель под первыми четырьмя разрядами делимого и вычитаем эти два числа. Получаем разность 11. В первый разряд частного записываем 1.
Находим следующий разряд частного. Для этого сносим следующий разряд делимого (так же, как это делается при делении в десятичной системе). Проверяем – можно ли теперь вычесть из него 101. Число 110 больше, чем 101. Поэтому мы записываем единицу в следующий разряд частного и производим вычитание этих двух чисел. Разность равна 1.
Далее ищем третий разряд частного. Сносим еще один ноль с очередного разряда делимого. Но из числа 10 невозможно вычесть 101. 10 меньше, чем 101. Поэтому записываем в очередной разряд частного ноль и сносим последний разряд делимого. Теперь вычитание возможно. Более того, результат вычитания равен нулю. Это означает во первых, что последний разряд частного равен единице, а во вторых то, что число 1000001 поделилось на 101 без остатка. Результат деления равен 1101 (десятичное 13).
Заключение
Вы можете задаться вопросом: какова практическая ценность в знании правил двоичной арифметики. Гораздо удобнее считать в десятичном виде. Да, для человека удобнее в десятичной. Но именно эти самые правила позволили создать электронные схемы, способные производить вычисления автоматически. Если вы внимательно посмотрите на правила деления чисел, то можете увидеть, что все эти действия сводятся к сдвигу разрядов числа и вычитанию. Вычитание, как мы уже убедились ранее сводится к сложению чисел, одно из которых представлено в дополнительном коде. Сумматор легко строится на основе простейших логических элементов. Сдвиг производится при помощи сдвигового регистра. На страницах этого сайта вы найдете описание всех этих элементов вычислительных систем.
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для сложения двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах.Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления
Умножение двоичных чисел
Формат представления чисел с плавающей запятой
Пример №1
. Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.
Решение
. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
Число 1.3354*exp 10 2 состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp 10 =2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M Представление числа в денормализованном экспоненциальном виде
.
Если мантисса находится в диапазоне 0,1 ≤ M Представим число в денормализованном экспоненциальном виде: 0.13354*exp 10 3
Пример №2
. Представить двоичное число 101.10 2 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Таблица истинности
Вычисление пределов
Арифметика в двоичной системе счисления
Арифметические действия в двоичной системе выполняются так же, как и в десятичной. Но, если в десятичной системе счисления перенос и заём осуществляется по десять единиц, то в двоичной - по две единицы. В таблице представлены правила сложения и вычитания в двоичной системе счисления.- При сложении в двоичной системе системе счисления двух единиц в данном разряде будет 0 и появится перенос единицы в старший разряд.
- При вычитании из нуля единицы производится заём единицы из старшего разряда, где есть 1 . Единица, занятая в этом разряде, даёт две единицы в разряде, где вычисляется действие, а также по единице, во всех промежуточных разрядах.
Сложение чисел с учетом их знаков на машине представляет собой последовательность следующих действий:
- преобразование исходных чисел в указанный код;
- поразрядное сложение кодов;
- анализ полученного результата.
При выполнении операции в дополнительном (модифицированном дополнительном) коде если в результате сложения в знаковом разряде возникает единица переноса, она отбрасывается.
Операция вычитания в ЭВМ выполняется через сложение по правилу: Х-У=Х+(-У). Дальнейшие действия выполняются также как и для операции сложения.
Пример №1
.
Дано: х=0,110001; y= -0,001001, сложить в обратном модифицированном коде.
Дано: х=0,101001; y= -0,001101, сложить в дополнительном модифицированном коде.
Пример №2
. Решить примеры на вычитание двоичных чисел, используя метод дополнения до 1 и циклического переноса.
а) 11 - 10.
Решение
.
Представим числа 11 2 и -10 2 в обратном коде.
Двоичное число 0000011 имеет обратный код 0,0000011
Сложим числа 00000011 и 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000001. Переведем в десятичное представление . Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Результат сложения (в десятичном представлении): 1
б) 111-010
Представим числа 111 2 и -010 2 в обратном коде.
Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Двоичное число 0000111 имеет обратный код 0,0000111
Двоичное число 0000010 имеет обратный код 1,1111101
Сложим числа 00000111 и 11111101
В 0-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 1-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
В 1-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 2-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 + 1 = 11). Поэтому записываем 1, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
В 3-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 4-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
В 4-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 5-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 5-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 6-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 6-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 7-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 7-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 8-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000101
Получили число 00000101. Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Результат сложения (в десятичном представлении): 5
Сложение двоичных вещественных чисел с плавающей запятой
В компьютере любое число может быть представлено в формате с плавающей точкой. Формат с плавающей точкой показан на рисунке:
Например, число 10101 в формате с плавающей точкой можно записать так:
В компьютерах используется нормализованная форма записи числа, в которой положение запятой всегда задается перед значащей цифрой мантиссы, т.е. выполняется условие:
b -1 ≤|M|Нормализованное число - это число, у которого после запятой идет значащая цифра (т.е. 1 в двоичной системе счисления). Пример нормализации:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
При сложении чисел с плавающей точкой выравнивание порядков выполняют в сторону большего порядка:
Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой:
- Выравнивание порядков;
- Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
- Нормализация результата.
Пример №4
.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Выравнивание порядков;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
MA доп.мод. =00,01011
MB доп.мод. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Нормализация результата.
A+B=0,1101*2 10
Пример №3 . Записать десятичное число в двоично-десятичной системе счисления и сложить два числа в двоичной системе счисления.
